Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 4.8 - Ex. 2
É dado o gráfico da função custo.
- Faça um esboço cuidadoso da função custo marginal.
- Use a interpretação geométrica do custo médio como uma inclinação (veja a figura 1) para fazer um esboço cuidadoso da função custo médio.
- Estime o valor de para o qual é um mínimo. Como estão relacionados os custos médio e marginal naquele valor de ?
Passo 1
- Para esboçar o gráfico do custo marginal temos que traçar as tangentes à curva em cada ponto e analizar as inclinações em relação à horizontal. Transferindo as retas tangentes para a origem, podemos avaliar seu valor, que é numerivamente igual à tangente do ângulo em relação à horizontal.
- Para traçar a curva do custo médio , vamos ligar os pontos da curva à origem e calcular as tangentes dos ângulos entre as reatas e a horizontal. Vamos fazer isso para . Para ilustrar, fazemos só a reta para , em vermelho.
- será mínimo quando a reta que liga um ponto da curva à origem for menos inclinado possível. Isso ocorre quando essa reta é tangente à curva:
A inclinação em é aproximadamente igual a 140, depois em aproximadamente igual a 50. Depois passa por um ponto de inclinação mínima aproximadamente igual a 30 em e no final volta a aumentar até 100 em . Esboçando, temos a seguinte curva:
Passo 2
Então temos:
Com isso esboçamos a função . Devemos notar que o ponto mínimo de ocorre entre e .
Passo 3
Como podemos ver na figura, é mínimo quando é aproximadamente . Nesse ponto, é igual à derivada de :
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
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