Enunciado

É dado o gráfico da função C custo.

  1. Faça um esboço cuidadoso da função custo marginal.
  2. Use a interpretação geométrica do custo médio c ( x ) como uma inclinação (veja a figura 1) para fazer um esboço cuidadoso da função custo médio.
  3. Estime o valor de x para o qual c ( x ) é um mínimo. Como estão relacionados os custos médio e marginal naquele valor de x ?

Passo 1

  1. Para esboçar o gráfico do custo marginal C ' ( x ) temos que traçar as tangentes à curva em cada ponto e analizar as inclinações em relação à horizontal. Transferindo as retas tangentes para a origem, podemos avaliar seu valor, que é numerivamente igual à tangente do ângulo em relação à horizontal.
  2. A inclinação em x = 0 é aproximadamente igual a 140, depois em x = 2 aproximadamente igual a 50. Depois passa por um ponto de inclinação mínima aproximadamente igual a 30 em x 0 ≈ 4,9 e no final volta a aumentar até 100 em x = 7 . Esboçando, temos a seguinte curva:

    Passo 2

  3. Para traçar a curva do custo médio c ( x ) , vamos ligar os pontos da curva à origem e calcular as tangentes dos ângulos entre as reatas e a horizontal. Vamos fazer isso para x = 0 ,   1 ,   2 ,   3 ,   4 ,   5 ,   6   e   7 . Para ilustrar, fazemos só a reta para x = 1 , em vermelho.
  4. Então temos:

    c 1 = 200 1 = 200

    c 2 = C 2 2 = 280 2 = 140

    c 3 = C 3 3 = 330 3 = 110

    c 4 = C 4 4 = 360 4 = 90

    c 5 = C 5 5 = 400 5 = 80

    c 6 = C 6 6 = 440 6 ≈ 73

    c 7 = C 7 7 = 420 7 = 60

    Com isso esboçamos a função c ( x ) . Devemos notar que o ponto mínimo de c ocorre entre 6 e 7 .

    Passo 3

  5. c ( x ) será mínimo quando a reta que liga um ponto da curva à origem for menos inclinado possível. Isso ocorre quando essa reta é tangente à curva:

Como podemos ver na figura, c ( x ) é mínimo quando x é aproximadamente 6,5 . Nesse ponto, c ( x ) é igual à derivada de C :

c x = C ( x )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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