Enunciado

Mostre o que acontece se você tenta usar a regra de L’Hospital para calcular

lim x → ∞ ⁡ x x 2 + 1

Calcule o limite usando outro método.

Passo 1

Bom, o enunciado parace meio estranho, mas a questão é simples do que parece...

Ele pede para mostrarmos o que acontece com o limite se tentarmos aplicar a regra de L’Hospital, então o que devemos fazer? Ora, vamos aplicar a regra e ver o que acontece...

Passo 2

Note que se trata de uma indeterminação do tipo ∞ / ∞ , então a regra é sim aplicável. Derivando o numerador e o denominador temos que

lim x → ∞ ⁡ x x 2 + 1 = lim x → ∞ ⁡ 1 2 x / 2 x 2 + 1 = lim x → ∞ ⁡ x 2 + 1 x

Ora, obtivemos um novo limite que segue com uma indeterminação do tipo ∞ / ∞ : vamos aplicar a regra mais uma vez:

lim x → ∞ ⁡ x 2 + 1 x = lim x → ∞ ⁡ 2 x / 2 x 2 + 1 1 = lim x → ∞ ⁡ x x 2 + 1

Você deve achar que eu estou te zuando, mas não estou: voltamos para o mesmo limite que queríamos calcular!!! A tão amada regra de L’Hospital nos fez ficar andando em círculos...

Isso pode acontecer as vezes e fica uma lição nisso tudo: a regrade L’Hospital é maravilhosa e salva nossa pele em muitas situações, porém em alguns casos, mesmo que ela seja aplicável, ela não é capaz de resolver nosso problema, muitas vezes podendo até complicar bastante ele...

Passo 3

Não deu certo usar a regra, então vamos usar a boa velha fatoração para limites infinitos:

lim x → ∞ ⁡ x x 2 + 1 = lim x → ∞ ⁡ x x 2 1 + 1 x 2

Como x > 0 , x 2 = x = x . Assim,

lim x → ∞ ⁡ x x 2 1 + 1 x 2 = lim x → ∞ ⁡ x x 1 + 1 x 2 = lim x → ∞ ⁡ 1 1 + 1 x 2 = 1

Resposta

1 .

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