Enunciado

Uma função custo é dada.

  1. Encontre as funções custo médio e custo marginal.
  2. Use os gráficos das funções na parte (a) para estimar o nível de produção que minimize o custo médio.
  3. Use o cálculo para encontrar o custo médio mínimo.
  4. Encontre o valor mínimo do custo marginal.

C x = 3.700 + 5 x - 0,04 x 2 + 0,0003 x 3

Passo 1

(a) A função custo médio c ( x ) é encontrada dividindo o custo total pelo número de unidades. Então:

c x = C x x = 3.700 x + 5 - 0,04 x + 0,0003 x 2

A função custo marginal é a derivada do custo total:

C ' x = 5 - 0,08 x + 0,0009 x 2

Passo 2

(b) Usando uma calculadora gráfica, vamos representar o gráfico de c ( x ) e C ' ( x ) :

A condição para que o custo médio seja mínimo é que ele seja igual ao custo marginal:

c x = C ' x ⇒ c   é   m í n i m o

Olhando os gráficos, vemos que isso ocorre entre x = 208   e   x = 209   u n i d a d e s .

Passo 3

(c) Agora usamos a expressão de c ( x ) para encontrar seu valor mínimo, que ocorre em x = 208 ou em x = 209 :

3.700 x + 5 - 0,04 x + 0,0003 x 2

c 208 = 3.700 208 - 0,04 208 + 0,0003 208 2 = 22,44766

c 209 = 3.700 209 - 0,04 209 + 0,0003 209 2 = 22,44765

Olhando para os valores, vemos que:

c m í n ≈ 22,45

Passo 4

(d) Agora calculamos o custo marginal mínimo. Podemos fazer isso olhando o gráfico ou derivando C ' ( x ) e igualando a zero. Vamos fazer pela derivada.

C ' x = 5 - 0,08 x + 0,0009 x 2

⇒ C ' ' x = - 0,08 + 0,0018 x

Igualando a zero:

- 0,08 + 0,0018 x = 0

⇒ x = 0,08 0,0018 ≈ 44   u n i d a d e s

Olhando para o gráfico de C ' ( x ) , verificamos que temos para esse valor de x de fato um mínimo. Então calculamos esse mínimo:

C m í n ' = C ' 44 = 5 + 0,08 40 + 0,0009 40 2

⇒ C m í n ' = 9,64

Resposta

(a)

c x = 3.700 x + 5 - 0,04 x + 0,0003 x 2

C ' x = 5 - 0,08 x + 0,0009 x 2

(b)

c   é   m í n i m o ⇒ x = 208

(c)

c M Í N = 22,45

(d)

C M í n ' = 9,64

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