Enunciado

Encontre o domínio e esboce o gráfico da função:

f (t) = t^2 - 6 t

Passo 1

E aí galera, beleza? Bom, Aqui temos uma função polinomial do segundo grau, sem nenhum tipo de radical e sem nenhuma varíavel no denominador da função.

f (t) = t^2 - 6 t

Toda vez que a gente tiver um polinômio de qualquer grau que atenda essas condições, seu domínio será todos os números reais, ou seja o conjunto R .

Só mais uma coisinha, antes que a gente esqueça: vamos chamar f ( t ) de y , combinado? Vamos adiante!

Passo 2

Como a gente tem uma função do segundo grau, seu gráfico vai ser uma parábola! Essa é daquelas funções que tão sempre aparecendo durante os exercícios de cálculo, então incorpora o Bháskara e não esquece dela!

A primeira dica é aquela de sempre olhar o sinal que acompanha o termo ao quadrado. Se for positivo, a concavidade da parábola ta virada pra cima, se for negativo, a concavidade da parábola ta virada para baixo. Como aqui a gente tem t^2 e não - t^2 , nos sabemos que nossa concavidade ta pra cima!

Temos que achar 3 pontos para montar a nossa parábola no plano cartesiano. Primeiro, iremos encontrar as raízes do nosso polinômio, isto é, resolver a equação:

t^2 - 6 t = 0

Pra resolver essa a gente pode deixar o t em evidência, ficando assim:

t (t - 6) = 0

Isso vai ser verdade quando ou t = 0 ou t - 6 = 0 . Do segundo caso, tiramos que t = 6 . Pronto! Agora temos dois pontos, sendo eles, na forma de um par ordenado ( t , y ) , os pontos ( 0 , 0 ) e ( 6 , 0 ) .

Passo 3

Para achar o terceiro ponto, podemos achar os dois que já temos. É só a gente pegar os valores t que encontramos, somar e dividir por dois. Isso vais nos levar exatamente para o meio da parábola, que é onde temos o seu ponto de menor valor, ajudando bastante na hora de desenhar o gráfico! Esse ponto vai ser onde vamos ter um t :

t = (6 + 0)/(2) = 3

Substituindo t = 3 em nossa expressão, vamos encontrar:

y = 3^2 - 6 . 3 = 9 - 18 = - 9

y = 9

Logo, o nosso último ponto vai ser o par ordenado ( 3 , 9 ) .

Passo 4

Agora, de posse dos pontos, ( 0 , 0 ) , ( 6 , 0 ) e ( 3 , 9 ) , podemos desenhar nosso gráfico! Lembra que o último ponto representa o ponto mais baixo da parábola, valeu? Olha só como vai ficar:

Resposta

O domínio da função é o conjunto dos números reais R e seu gráfico é dado por:

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