Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 1.1 - Ex. 35
Encontre o domínio e esboce o gráfico da função:
Passo 1
E aí galera, beleza? Bom, Aqui temos uma função polinomial do segundo grau, sem nenhum tipo de radical e sem nenhuma varíavel no denominador da função.
Toda vez que a gente tiver um polinômio de qualquer grau que atenda essas condições, seu domínio será todos os números reais, ou seja o conjunto .
Só mais uma coisinha, antes que a gente esqueça: vamos chamar de , combinado? Vamos adiante!
Passo 2
Como a gente tem uma função do segundo grau, seu gráfico vai ser uma parábola! Essa é daquelas funções que tão sempre aparecendo durante os exercícios de cálculo, então incorpora o Bháskara e não esquece dela!
A primeira dica é aquela de sempre olhar o sinal que acompanha o termo ao quadrado. Se for positivo, a concavidade da parábola ta virada pra cima, se for negativo, a concavidade da parábola ta virada para baixo. Como aqui a gente tem e não , nos sabemos que nossa concavidade ta pra cima!
Temos que achar pontos para montar a nossa parábola no plano cartesiano. Primeiro, iremos encontrar as raízes do nosso polinômio, isto é, resolver a equação:
Pra resolver essa a gente pode deixar o em evidência, ficando assim:
Isso vai ser verdade quando ou ou . Do segundo caso, tiramos que . Pronto! Agora temos dois pontos, sendo eles, na forma de um par ordenado , os pontos e .
Passo 3
Para achar o terceiro ponto, podemos achar os dois que já temos. É só a gente pegar os valores que encontramos, somar e dividir por dois. Isso vais nos levar exatamente para o meio da parábola, que é onde temos o seu ponto de menor valor, ajudando bastante na hora de desenhar o gráfico! Esse ponto vai ser onde vamos ter um :
Substituindo em nossa expressão, vamos encontrar:
Logo, o nosso último ponto vai ser o par ordenado .
Passo 4
Agora, de posse dos pontos, , e , podemos desenhar nosso gráfico! Lembra que o último ponto representa o ponto mais baixo da parábola, valeu? Olha só como vai ficar:
Resposta
O domínio da função é o conjunto dos números reais e seu gráfico é dado por:
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