Enunciado

5 – 20 Encontre dy/dx diferenciando implicitamente

15. e x 2 y = x + y

Passo 1

Para derivar implicitamente vamos aplicar a deriada dos dois lados da equação:

d d x e x 2 y = d d x ( x + y )

d d x e x 2 y = d d x x + d d x y

d d x e x 2 y = 1 + y '

Para derivarmos e x 2 y precisamos utulizar a regra da cadeia, ela diz que quando temos uma “função dentro da outra”:

F x = f g x

e queremos derivá-la, a gente faz a derivada da função de fora e multiplica pela derivada da função de dentro:

F ' x = f ' g x ⋅ g ' x

Nesse caso a função de fora é o e g x e a função de dentro é x 2 y , então podemos escrever a equação como sendo:

e x 2 y ⋅ d d x x 2 y = 1 + y '

Agora precisamo da regra do produto:

u ⋅ v ' = v ⋅ u ' + u ⋅ v '

Aplicando a regra:

e x 2 y ⋅ y ⋅ 2 x + x 2 ⋅ y ' = 1 + y '

Precisamos isolar y ' :

2 x y ⋅ e x 2 y + y ' x 2 e x 2 y = 1 + y '

y ' x 2 e x 2 y - y ' = 1 - 2 x y ⋅ e x 2 y

Tirando y ' em evidência:

y ' x 2 e x 2 y - 1 = 1 - 2 x y ⋅ e x 2 y

y ' = 1 - 2 x y ⋅ e x 2 y x 2 e x 2 y - 1

Resposta

y ' = 1 - 2 x y ⋅ e x 2 y x 2 e x 2 y - 1

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