Enunciado

Encontre a derivada da função. Simplifique onde possível.

h x = 1 - x 2 arcsin ⁡ x

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema foi dada a função

h x = 1 - x 2 arcsin ⁡ x

e nosso objetivo é calcular a sua derivada...

Tem ideia de como fazemos isso?

A primeira coisa que podemos perceber dessa função é que se trata de um produto de duas funções de x .

Logo, para calcular sua derivada bamos precisar usar a regra do produto:

u ⋅ v ' = v ⋅ u ' + u ⋅ v '

Porem, perceba que uma das funções é composta, no caso, 1 - x 2 . Então quando formos calcular sua derivada vamos ter que aplicar a regra da cadeia.

Ela diz que quando temos uma “função dentro da outra”:

F x = f g x

e queremos derivá-la, a gente faz a derivada da função de fora e multiplica pela derivada da função de dentro:

F ' x = f ' g x ⋅ g ' x

Veja só!

Passo 2

para resolver a derivada dessa função:

h ' x = d d x 1 - x 2 ⋅ arcsin ⁡ x

Aplicando a regra do produto...

h ' x = d d x 1 - x 2 ⋅ arcsin ⁡ x + d d x arcsin ⁡ x ⋅ 1 - x 2

Pelo teorema fundamental do calculo, a derivada do arcoseno é:

d d x arcsin ⁡ x = 1 1 - x 2

Então nossa equação fica:

h ' x = d d x 1 - x 2 ⋅ arcsin ⁡ x + 1 1 - x 2 ⋅ 1 - x 2

h ' x = d d x 1 - x 2 ⋅ arcsin ⁡ x + 1

Para derivarmos 1 - x 2 precisamos utilizar a regra da cadeia.

Nesse caso a função de fora é a raiz quadrada e a função de dentro é 1 - x 2 , então podemos escrever a equação como sendo:

h ' x = d d u u · d d x 1 - x 2 ⋅ arcsin ⁡ x + 1

h ' x = 1 2 u · - 2 x ⋅ arcsin ⁡ x + 1

Voltando u para 1 - x 2 ...

h ' x = 1 2 1 - x 2 ⋅ - 2 x ⋅ arcsin ⁡ x + 1

h ' x = - x 1 - x 2 ⋅ arcsin ⁡ x + 1

É isso! O que achou? Responde Aí!

Resposta

h ' x = - x 1 - x 2 ⋅ arcsin ⁡ x + 1

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