Enunciado

Encontre a equação para a cônica que satisfaz as condições dadas.

33. Parábola, foco ( - 4 ,   0 ) , diretriz x = 2 .

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado quer que encontremos a equação para uma cônica.

Para isso, ele nos dá três condições:

  1. Trata-se de uma parábola;
  2. Tem diretriz em x = 2 .
  3. Tem foco em - 4,0 .

Para resolvermos isso, temos que saber do que trata-se uma parábola.

Bom... seja a seguinte parábola:

  • O ponto F é chamado de foco e determina essa figura;
  • A reta r é chamada de diretriz da parábola. A distância entre qualquer ponto da parábola e a sua diretriz é igual à distância entre esse mesmo ponto da parábola e o seu foco;
  • O vértice da parábola é o ponto mais próximo de sua diretriz.

Assim, temos a equação padrão da parábola:

y 2 = 4 p x

Esse valor p determina a distância focal da parábola, bem como a direção em que a parábola se abre.

Agora que já sabemos os conceitos, vamos aplicar!! 😉

Passo 2

Bom... como sabemos que o foco e a diretriz são equidistantes ao vértice da parábola, podemos determinar o valor de p e das translações da parábola em relação aos eixos.

A distância total entre a diretriz e o foco é ∆ x = 6 , então o vértice se encontra em:

- 1,0

Como o foco está à esquerda do vértice, (concavidade para a esquerda):

p = - 3

Passo 3

Como a equação da diretriz é dada por um valor de x, ela será uma reta vertical, e a equação padrão será:

y 2 = 4 p x

Substituindo p e como sabemos que o vértice não está na origem, mas sim transladado para x = - 1 , a equação passa a ser:

y 2 = 4 - 3 x - - 1 ∴

y 2 = - 12 ( x + 1 )

Resposta

y 2 = - 12 ( x + 1 )

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