Enunciado

Encontre a equação para a cônica que satisfaz as condições dadas.

40. Elipse, focos 0 ,   - 1 ,   ( 8 ,   - 1 ) vértice ( 9 ,   - 1 )

Passo 1

Como os vértices e os focos estão todos na mesma coordenada y = - 1 , sabemos que a elipse foi transladada sobre o eixo y, além disso, como os vértices e os focos não estão em posições simétricas, a elipse também sofreu translação em x.

Fazemos então a diferença entre os valores das coordenadas x de cada foco, para obtermos a distância, depois dividimos por dois, já que os focos são equidistantes do centro:

8 - 0 2 = 4

O centro então estará em ( 4 ,   - 1 )

E como os focos e os vértices estão no eixo x, a equação da elipse será:

( x - 4 ) 2 a 2 + ( y + 1 ) 2 b 2 = 1

Passo 2

A definição dos vértices passará a ser: ( ± a + 4 ,   - 1 ) devido à translação, o que significa que a será:

a + 4 = 9

a = 5

(utilizamos o valor positivo de a , pois o vértice dado no enunciado está depois do centro).

Para encontrarmos b 2 , precisamos encontrar c , pela definição de foco ( ± c + 4 , - 1 ) , c será:

c + 4 = 8

c = 4

Pela equação de c :

c 2 = a 2 - b 2

b 2 será:

4 = 25 - b 2

b 2 = 21

Passo 3

Substituindo o valor de a 2 e de b 2 na equação do Passo 1, teremos a seguinte equação de elipse:

( x - 4 ) 2 25 + ( y + 1 ) 2 21 = 1

Resposta

( x - 4 ) 2 25 + ( y + 1 ) 2 21 = 1

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