Enunciado

Encontre a equação para a cônica que satisfaz as condições dadas.

45. Hipérbole, vértices ( - 3 ,   - 4 ) , ( - 3 ,   6 ) , focos - 3 ,   - 7 , ( - 3 ,     9 )

Passo 1

Tanto os vértices quanto os focos possuem coordenada x = - 3 , o que significa que a equação da hipérbole será do tipo:

y 2 a 2 - ( x + 3 ) 2 b 2 = 1

Como podemos perceber também, os focos não estão em posições simétricas, precisamos então encontrar a posição do centro em relação ao eixo y também, para isso, vamos fazer a diferença entre as coordenadas dos vértices (poderia ser dos focos):

6 - - 4 = 10

E então dividimos por 2:

10 2 = 5

Ao somarmos y = 5 ao vértice ( - 3 ,   - 4 ) , ficamos com ( - 3 ,   1 ) , que será a posição do centro, então:

a = 5

Agora sabemos o quanto o centro foi transladado para cima, e a equação se torna:

( y - 1 ) 2 25 - ( x + 3 ) 2 b 2 = 1

Passo 2

Como os focos distam 8 unidades do centro:

c = 8

Pela equação de c , basta substituir os valores que encontramos para calcular b 2 :

c 2 = a 2 + b 2

64 = 25 + b 2

b 2 = 39

Passo 3

A equação da hipérbole então será:

( y - 5 ) 2 25 - ( x + 3 ) 2 39 = 1

Resposta

( y - 5 ) 2 25 - ( x + 3 ) 2 39 = 1

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