Enunciado

Determine se a sequência converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite.

a n = 1 2 , 1 3 , 1 2 , 1 4 , 1 3 , 1 5 , 1 4 , 1 6 , …

Passo 1

Galerinha, uma sequência a n tem limite L e escrevemos

lim n → ∞ ⁡ a n = L

se conseguirmos fazer os termos de a n chegarem mais próximos de L usando um valor para n suficientemente grande. Se esse limite existe, podemos dizer que a sequência converge. Caso contrário, a sequência diverge. Que tal, então, aplicarmos isso a nossa questão? Vamos ver se existe o limite da sequência que nos foi dada!

E para isso podemos usar o teorema do confronto! Esse teorema nos diz que se nossa sequência estiver entre duas outras funções, e essas funções denderem a zero, quer dizer que nossa sequência também tende a zero

E assim nossa sequência seria convergente! Então a ideia é ver se encontramos duas funções para ajudar a gente!

Bora começar?

Passo 2

Vamos pegar essa sequência e jogar num plano cartesiano, beleza?

Será que temos uma função que estaria por cima e outra por baixo? Vamos olhar com carinho nossa sequência

a n = 1 2 , 1 3 , 1 2 , 1 4 , 1 3 , 1 5 , 1 4 , 1 6 , …

Podemos cercar esses pontos por duas funções: y = 1 / n em cima e y = 0 . A figura abaixo mostra essa situação.

Uma sequência que está entre outras duas pode ter seu limite calculado através do teorema do Confronto! Assim, vamos calcular primeiro o limite da função de cima:

L 1 = lim n → ∞ ⁡ 1 n = 0

Agora, para a função de baixo:

L 2 = lim n → ∞ ⁡ 0 = 0

Assim, pelo teorema do Confronto, o valor do limite L também é igual a zero, mostrando assim que a sequência converge!

Resposta

A série converge para zero!

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Determine se a sequência converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite. a n = 1 + 2 n n
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Determine se a sequência converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite. a n = ln ⁡ n + 1 - ln ⁡ n