Enunciado

Encontre a equação para a cônica que satisfaz as condições dadas.

39. Elipse, focos 0 ,     2 , ( 0 ,   6 ) , vértices 0 ,   0 , ( 0 ,   8 )

Passo 1

Sabemos que os focos e os vértices pertencem ao eixo y, portanto, a elipse será do seguinte tipo:

y 2 a 2 + x 2 b 2 = 1

E como os vértices e os focos estão em coordenadas não simétricas entre si, significa que a elipse foi transladada, como sabemos que os vértices são equidistantes do centro, basta calcularmos a distância entre si e dividir por 2:

8 - 0 2 = 4

O centro então estará transladado para y = 4 , a equação então ficará:

( y + 4 ) 2 a 2 + x 2 b 2 = 1

Passo 2

Pela definição dos vértices ( 0 ,   ± a + 4 ) , sabemos que a será:

a + 4 = 8  

a = 4

Para obtermos b 2 , precisamos primeiro encontrar c através da definição dos focos ( 0 ,   ± c + 4 ) , c será:

c + 4 = 6

c = 2

Pela equação de c:

c 2 = a 2 - b 2

Substituindo os valores de a e c , b 2 será:

4 = 16 - b 2

b 2 = 12

Passo 3

Substituindo a 2 e b 2 na equação da elipse, teremos:

( y - 4 ) 2 16 + x 2 12 = 1

Resposta

( y - 4 ) 2 16 + x 2 12 = 1

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