Enunciado

Use derivação logarítmica para provar as regras do produto e do quociente. Explique quais propriedade de l n   x são importantes nessa demonstração.

Passo 1

Vamos começar com a regra do produto. Vamos supor que temos uma função h ( x ) , que é fruto do produto de outras duas funções:

h x = f x . g ( x )

Para resolver esse problema usando diferenciação logarítmica, devemos tomar a função l n de ambos os lados, para obtermos:

ln ⁡ h x = ln ⁡ f x . g x

Aplicando propriedade de logarimo que diz que :

l o g b a x = l o g b a + l o g b x

ln ⁡ h x = ln ⁡ f x ) + l n ⁡ ( g x

Derivando a função de ambos os lados:

d d x [ ln ⁡ h x ] = d d x [ ln ⁡ f x ) + l n ⁡ ( g x ]

Obtemos as seguintes derivadas:

h ' x h ( x ) = f ' x f ( x ) + g ' x g ( x )

Reorganizando as fórmulas temos:

h ' x h ( x ) = f ' x g x + g ' x f ( x ) h ( x )

h ' x = f ' x g x + g ' x f x h x . h ( x )

Simplificando termos:

h ' x = f ' x g x + g ' x f x

Percebeu?

Utilizando diferenciação logarítmica em uma função composta envolvendo a multiplicação de funções , nós conseguimos deduzir a Regra do Produto.

Passo 2

Agora, vamos aplicar a regra do quociente. Vamos supor que temos uma função h ( x ) , que é fruto da divisão de outras duas funções:

h x = f x g ( x )

Para resolver esse problema usando diferenciação logarítmica, devemos tomar a função l n de ambos os lados, para obtermos:

ln ⁡ h x = ln ⁡ f x g ( x )

Aplicando propriedade de logarimo que diz que :

l o g b a x = l o g b a - l o g b x

ln ⁡ h x = ln ⁡ f x ) - l n ⁡ ( g x

Derivando a função de ambos os lados:

d d x [ ln ⁡ h x ] = d d x [ ln ⁡ f x ) - l n ⁡ ( g x ]

Obtemos as seguintes derivadas:

h ' x h ( x ) = f ' x f ( x ) - g ' x g ( x )

Reorganizando as fórmulas temos:

h ' x h x = f ' x g x - g ' x f x f x g x

h ' x = f ' x g x - g ' x f x f x . g x . h ( x )

Sabendo que h x = f x g ( x ) :

h ' x = f ' x g x - g ' x f x f x . g x . f x g ( x )

Simplificando termos:

h ' x = f ' x g x - g ' x f x g x 2

Percebeu?

Utilizando diferenciação logarítmica em uma função composta envolvendo a multiplicação de funções , nós conseguimos deduzir a Regra do quociente .

Resposta

As propriedades importantes de logaritmo importantes para a verificação são:

l o g b a x = l o g b a + l o g b x

l o g b a x = l o g b a - l o g b x

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Diferencie a função dadaF(x) = log ⁡ 1 + x 1 - x
Diferencie a função dadaF(x) = x x e x ; x0
Diferencie a função dadaF(t) = t 3 / l n t
Diferencie a função dadaF(x) = l n2 x + 1 x - 3
Diferencie a função dadaF(x) = log ⁡ ( x 2 2 x 2 + 1 )