Mostrar que a função y = 1 / (1 + x + ln(x)) satisfaz a equação x \* y' = y(ylngx - 1) .

Passo 1

Para verificarmos isso, vamos fazer a derivação implícita da função. Vamos derivar em relação à variável x .

y ' = - 1 1 + x + ln ⁡ x 2 ∙ ( 0 + 1 + 1 x )

y ' = - ( 1 + 1 x ) 1 + x + ln ⁡ x 2

Passo 2

Obtido o valor de y ' , substituímos ele na expressão da equação diferencial do enunciado, que queremos comprovar se será satisfeita ou não pela função. Teremos:

x ∙ [ - 1 + 1 x 1 + x + ln ⁡ x 2 ] = y y l n x - 1

- ( x + 1 ) 1 + x + ln ⁡ x 2 = y 2 ln ⁡ x - y

Agora, substituímos y pelo seu valor da função do enunciado:

- ( x + 1 ) 1 + x + ln ⁡ x 2 = y 2 ln ⁡ x - 1 1 + x + ln ⁡ x

Rearrumamos essa expressão toda e teremos:

y 2 ln ⁡ x = 1 1 + x + ln ⁡ x - ( x + 1 ) 1 + x + ln ⁡ x 2

Passo 3

Continuando, tiramos o MMC dos denominadores pra juntarmos as duas frações:

y 2 ln ⁡ x = 1 + x + ln ⁡ x - ( x + 1 ) 1 + x + ln ⁡ x 2

Cortamos o que for possível pra resultar em:

y 2 ln ⁡ x = ln ⁡ x 1 + x + ln ⁡ x 2

Simplificamos:

y 2 = 1 1 + x + ln ⁡ x 2

Tiramos a raiz dos dois lados:

∴ y = 1 1 + x + ln ⁡ x

Chegamos exatamente à nossa função original. Então, concluímos que a equação diferencial apresentada pelo enunciado é satisfaz (ou seja, é solução) a função dada.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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