Enunciado

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32. Ache a taxa de variação instantânea da inclinação da reta tangente ao gráfico

y = 2 x 3 - 6 x 2 - x + 1 no ponto ( 3 , - 2 ) .

Passo 1

O que o enunciado quer quando fala da taxa de variação instantânea da inclinação da reta tangente, nada mais é que o valor da segunda derivada em certo ponto, no caso ( 3 , - 2 ) .

A derivada de segunda ordem pode ser interpretada também como a taxa de variação instantânea da função definida pela primeira derivada.

Primeiro devemos achar a função que define a inclinação da reta tangente que no caso seria a derivada de primeira ordem.

Passo 2

1º - Iremos calcular a derivada de primeira ordem:

y ( x ) = 2 x 3 - 6 x 2 - x + 1

y ' x = 6 x 2 - 12 x - 1

2º - Vamos calcular a derivada de segunda ordem:

y ' x = 6 x 2 - 12 x - 1

y ' ' x = 12 x - 1 2

Passo 3

Agora basta avaliar o ponto 3 , - 2 na derivada de segunda ordem, que será fazer x = 3 e obter y ' ' ( 3 ) .

y ' ' x = 12 x - 1 2

y ' ' 3 = 12 3 - 12

                                  = 36 - 12 = 24

Obtendo assim a taxa de variação instantânea da inclinação da reta tangente.

Resposta

taxa de variação instantânea da inclinação da reta tangente = 24

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