Enunciado

Encontre a equação da reta tangente ao gráfico no ponto especificado.

y = x 2 5 - x 2 ,     x = 1

Passo 1

E aí, tudo joia?

Pra fazer a equação da reta tangente a gente vai precisar da derivada dessa função, certo?

Então é por aí que a gente vai começar...

A gente tem uma função composta, então a gente vai derivar de fora pra dentro, usando a regra da Cadeia, que é assim:

f g ' = f ' g ⋅ g '

Beleza?

Nessa aqui a gente ainda tem um produto, então vamos aplicar a regra do Produto, ok?

Passo 2

Primeiro, aplicamos a regra do Produto:

y ' = x 2 ' 5 - x 2 + x 2 5 - x 2 '

Vamos fazer cada parte separada aqui:

x 2 ' = 2 x

5 - x 2 ' = 1 2 5 - x 2 5 - x 2 ' =   - 2 x 2 5 - x 2 =   - x 5 - x 2

Prontinho, agora a gente monta a derivada total:

y ' = 2 x 5 - x 2 + x 2 - x 5 - x 2  

y ' =   2 x   5 - x 2 - x 3 5 - x 2  

Ufaa! Derivada encontrada! Vamos continuar...

Passo 3

Agora vamos relembrar como é a equação da nossa reta tangente? É assim ó:

y - f a = f ' a ( x - a )

Onde a é o ponto pedido, no nosso caso a = 1 .

Vamos achar esses termos que a gente precisa então:

f 1 = 1 2 5 - 1 2 = 4 = 2

f ' 1 = 2 1 5 - 1 2 - 1 3 5 - 1 2 = 2 4 - 1 4 = 4 - 1 2 = 7 2

E agora a gente monta a equação da reta:

y - 2 = 7 2 x - 1

y = 7 2 x - 7 2 + 2

y = 7 2 x - 3 2  

Prontinho! Essa é a equação da reta tangente ao gráfico em x = 1 😊

Resposta

y = 7 2 x - 3 2  

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