Calcule a derivada indicada.

Dy(raiz^4((y^3 + 1) / (y^3 - 1)))

Passo 1

A questão pede para acharmos a derivada da função dada. Antes de derivarmos, vamos reescrever a função:

y 3 + 1 y 3 - 1 4 = h ( y ) 4 = h y 1 / 4 ,

onde h é dada por

h y = y 3 + 1 y 3 - 1

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia:

D y y 3 + 1 y 3 - 1 4 = D y h y 1 4 = 1 4 h y 1 4 - 1 ⋅ h ' ( y )

Assim,

D y y 3 + 1 y 3 - 1 4 = 1 4 h y 3 / 4 ⋅ h ' y = y 3 - 1 y 3 + 1 3 4 ⋅ h ' y 4

Passo 3

Agora vamos achar h ' ( y ) usando a regra do quociente:

h ' y = y 3 + 1 '   y 3 - 1 - y 3 + 1   ( y 3 - 1 ) ' y 3 - 1 2 = 3 y 2 y 3 - 1 - 3 y 2 ( y 3 + 1 ) y 3 - 1 2

Portanto,

h ' y = - 6 y 2 y 3 - 1 2

Assim,

D y y 3 + 1 y 3 - 1 4 = y 3 - 1 y 3 + 1 3 4 ⋅ - 6 y 2 4   y 3 - 1 2 = - 3 y 2 2   y 3 - 1 2 y 3 - 1 y 3 + 1 3 4

Resposta

D y y 3 + 1 y 3 - 1 4 = - 3 y 2 2   y 3 - 1 2 y 3 - 1 y 3 + 1 3 4

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