Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 3.5 - Ex. 63
63. Suponha que L seja uma função tal que para . Determinar uma expressão para a derivada de cada função.
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
Nós queremos a derivada de cada uma dessas função, então vamos derivar dos dois lados de cada equação e devido a regra da cadeia vamos condeguir decobrir o valor das derivadas sem precisar saber a expressão de :
(a)
Para resover a derivada vamos precisar da regra da cadeia, ela diz que quando temos uma “função dentro da outra”:
e queremos derivá-la, a gente faz a derivada da função de fora e multiplica pela derivada da função de dentro:
Nesse caso a função de fora é e a função de dentro é , então podemos escrever a equação como sendo:
Nós sabemos a expressão de então podemos escrever a equação como sendo:
Prontinho, agora é só usar a mesma tecninca para as outras letras
Passo 2
(b)
Aplicando a derivada:
Utilizando a regra da cadeia, como anteriormente:
Substituindo :
Passo 3
(c)
Aplicando a derivada:
Utilizando a regra da cadeia, como anteriormente, mas nesse caso a função de fora é o quadrado e a de dentro que é o :
Agora não tem escapatória, precisamos de , mas ele não é dificil de encontrar, tente lebrar, a derivada de qual função te da como resposta ? É o , então
Substituindo na equação:
Passo 4
(d)
Aplicando a derivada:
Utilizando a regra da cadeia, como anteriormente:
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
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