Enunciado

63. Suponha que L seja uma função tal que L ' x = 1 / x para x > 0 . Determinar uma expressão para a derivada de cada função.

(a) f x = L x 4

(b) g x = L 4 x

(c) F x = L x 4

(d) G x = L 1 / x

Passo 1

Nós queremos a derivada de cada uma dessas função, então vamos derivar dos dois lados de cada equação e devido a regra da cadeia vamos condeguir decobrir o valor das derivadas sem precisar saber a expressão de L x :

(a)

d d x f x = d d x L x 4

Para resover a derivada vamos precisar da regra da cadeia, ela diz que quando temos uma “função dentro da outra”:

F x = f g x

e queremos derivá-la, a gente faz a derivada da função de fora e multiplica pela derivada da função de dentro:

F ' x = f ' g x ⋅ g ' x

Nesse caso a função de fora é L e a função de dentro é x 4 , então podemos escrever a equação como sendo:

f ' x = L ' x 4 ⋅ d d x x 4

f ' x = L ' x 4 ⋅ 4 x 3

Nós sabemos a expressão de L ' x , então podemos escrever a equação como sendo:

f ' x = 1 x 4 ⋅ 4 x 3

f ' x = 4 x

Prontinho, agora é só usar a mesma tecninca para as outras letras

Passo 2

(b)

Aplicando a derivada:

d d x g x = d d x L 4 x

Utilizando a regra da cadeia, como anteriormente:

g ' x = L ' 4 x ⋅ d d x 4 x

Substituindo L ' 4 x :

g ' x = 1 4 x ⋅ 4

g ' x = 1 x

Passo 3

(c)

Aplicando a derivada:

d d x F x = d d x L x 2  

Utilizando a regra da cadeia, como anteriormente, mas nesse caso a função de fora é o quadrado e a de dentro que é o L x :

F ' x = 2 L x ⋅ d d x L x

Agora não tem escapatória, precisamos de L x , mas ele não é dificil de encontrar, tente lebrar, a derivada de qual função te da como resposta 1 / x ? É o ln ⁡ x , então

L x = ln ⁡ x

Substituindo na equação:

F ' x = 2 ln ⁡ x ⋅ 1 x

Passo 4

(d)

Aplicando a derivada:

d d x G x = d d x L 1 x

Utilizando a regra da cadeia, como anteriormente:

G ' x = L ' 1 x ⋅ d d x 1 x

G ' x = x ⋅ - 1 x 2

G ' x = - 1 x

Resposta

(a) f ' x = 4 x

(b) g ' x = 1 x

(c) F ' x = 2 ln ⁡ x ⋅ 1 x

(d) G ' x = - 1 x

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Derive a função H ( z ) = ln ⁡ a 2 - z 2 a 2 + z 2
Derive a função f ( x ) = log 2 ⁡ ( 1 - 3 x )
Derive a função y = ln ⁡ ( x 4 s e n 2 x )
Derive a função g ( x ) = ln ⁡ ( x x 2 - 1 )
Derive a função f ( x ) = log 5 ⁡ ( x e x )