Enunciado

Encontre uma equação da tangente à curva no ponto correspondente ao valor do parâmetro dado.

x = t cos ⁡ t ,   y = t sen ⁡ t ; t = π

Passo 1

Vamos derivar a função x = t cos ⁡ t em relação a t :

d x d t = t ( - sen ⁡ t ) + cos ⁡ t

E derivar a função y = t sen ⁡ t emrelação a t :

d y d t = t cos ⁡ t + sen ⁡ t

Passo 2

Agora precisamos calcular d y / d x , e calculamos da seguinte forma:

d y d x = d y d t d x d t

E isso nos dá que:

d y d x = t cos ⁡ t + sen ⁡ t t ( - sen ⁡ t ) + cos ⁡ t

Passo 3

Temos a condição de que t = π , assim substituiremos esse valor nas funções: x = t cos ⁡ t y = t sen ⁡ t .

Isso implica que:

x = π cos ⁡ π = - π

E

y = π sen ⁡ π

Então, temos que:

x , y = ( - π , 0 )

Passo 4

Agora, vamos substituir esses pontos em:

d y d x = t cos ⁡ t + sen ⁡ t t ( - sen ⁡ t ) + cos ⁡ t

E ficamos com:

d y d x = - π - 1 = π

Assim, apenas uma equação da tangente à curva no ponto correspondente a t = π e esta é:

y - 0 = π [ x - - π ]

E então,

y = π x + π 2

Resposta

y = π x + π 2

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