Enunciado

Encontre uma equação da tangente à curva no ponto correspondente ao valor do parâmetro dado

x = e t sin ⁡ π t  

y = e 2 t  

t = 0

Passo 1

Então meu amigo, a gente tem a seguinte curva parametrizada:

x = e t sin ⁡ π t  

y = e 2 t  

E a gente quer encontrar a equação da reta tangente a essa curva, no ponto de parâmetro:

t = 0

A equação de uma reta tangente a curva é dada por:

x - x 1 = m y - y 1

Em que m = d y d x é o coeficiente angular da reta, e ( x 1 ,   y 1 ) são pontos que pertencem a essa reta. Quando falamos de coeficiente angular da reta falamos também de derivada. Sendo assim, precisaremos derivar a nossa curva.

Chegamos a uma parte que temos uma regra da cadeia e evoluída. Para calcular a derivada d y d x vamos precisar de uma sagacidade agora.

d y d x = d y d x ∙ d t d t   → d y d t ∙ d t d x

Ou podemos escrever como

d y d x = d y d t d x d t

Use a forma que achar melhor e que for mais fácil para resolver a nossa equação. Quando terminarmos de calcular a derivada, vamos montar a equação da reta tangente .

Passo 2

Beleza, então temos essas equações

x = e t sin ⁡ π t  

y = e 2 t  

Então vamos arregaçar as mangas e cair dentro

d y d x = d y d t d x d t

d y d x = d d t e 2 t       d d t e t sin ⁡ π t  

Passo 3

Então nossa derivada fica:

d y d x = d d t e 2 t       d d t e t sin ⁡ π t  

Vamos só lembrar que

d d x   x n   = n x n - 1

Show! Então como fica nossa derivada?

Para derivar e t sin ⁡ π t   precisamos utilizar a regra do produto, pois temos um produto de funções aqui:

d y d x = 2 e 2 t e t sin ⁡ π t + e t * π c o s π t

d y d x = 2 e t sin ⁡ π t   + π cos ⁡ π t

Passo 4

Agora vamos aplicar nosso ponto t = 0 para descobrir a inclinação da reta tangente

d d x f 0 =   2 e t sin ⁡ π t   + πcos ⁡ π t

d d x f 0 = 2 * 1   0 + π  

d d x f 0 = 2 / π  

Lembra como montamos uma equação de reta?

y - y 1 = m x - x 1

Onde esse ( x 1 ,   y 1 ) são nossos pontos iniciais. Como t =   0 é só a gente plotar esse número nas nossas equações para x e y e descobrir quem são:

x = e t sin ⁡ π t  

y = e 2 t  

Então fica:

x 1 0 = e 0 sin ⁡ 0 →   0

y 1 0 = e 0 → 1

Então

x 1 ,   y 1 = 0,1

Logo nossa equação da reta fica

y - y 1 = a x - x 1

y - 1 = 2 π (   x   )

Show! Conforme você for resolvendo mais funções, mais vai pegando o jeito. Terminamos por aqui, te vejo na próxima resolução :)

Resposta

y = 2 π x + 1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos exercícios 9 a 20, determine os pontos nos quais a curva dada tem retas tangentes verticais e horizontais. Faça um esboço do gráfico e mostre essas retas tangentes15. r = 2 + 3 c o s θ
Nos exercícios 9 a 20, determine os pontos nos quais a curva dada tem retas tangentes verticais e horizontais. Faça um esboço do gráfico e mostre essas retas tangentes12. r = 3 - 2 s e n θ
Nos exercícios de 29 a 32, ache a medida, em graus, do menor ângulo entre as retas tangentes ao par de curvas dadas nos pontos de intersecção indicados:30. r = 3 r = 6 s e n θ ; 3 ,π 6
Prove que t g chi = t g (theta)/(2) em todos os pontos da cardioide r = 2 ( 1 - c o s theta ) .
Nos exercícios de 21 a 28, ache χ e α para a curva dada no ponto cujo valor de θ é o indicado. Faça um esboço da curva e mostre χ e α .21. r θ = 4 ; θ = 1