Enunciado

Encontre uma equação da tangente à curva no ponto correspondente ao valor do parâmetro dado.

x = cos ⁡ θ + s e n   2 θ ,               y = s e n   θ + cos ⁡ 2 θ ,             θ = 0

Passo 1

O exercício quer que você encontre a equação da reta tangente à curva parametrizada dada. Para isso, precisamos achar o ponto ( x 0 , y 0 ) de tangência e a inclinação da reta, dada pela derivada da curva nesse ponto!

Para achar x 0 e y 0 , basta trocar θ = 0 nas equações:

x 0 = 1 + 0 = 1

y 0 = 0 + 1 = 1

Passo 2

Para achar a inclinação, temos que derivar a curva:

d y d x = d y d θ d x d θ = cos ⁡ θ - 2   s e n   2 θ - s e n   θ + 2 cos ⁡ 2 θ

Substituindo θ = 0 , achamos o coeficiente angular da reta tangente:

m = 1 - 0 0 + 2 = 1 2

Passo 3

Sabemos que a equação da reta tangente é

y - y 0 = m   ( x - x 0 )

Assim,

y - 1 = 1 2   ( x - 1 )

Logo,

2 y - 2 = x - 1

Portanto,

x - 2 y + 1 = 0

Resposta

x - 2 y + 1 = 0

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