Enunciado

Encontre uma equação da tangente à curva no ponto correspondente ao valor do parâmetro dado.

x = cos ⁡ θ + s e n   2 θ ,   y = s e n   θ + cos ⁡ 2 θ ; θ = 0

Passo 1

Para encontrarmos uma equação para a reta tangente a curva no ponto θ = 0 , podemos utilizar a regra da cadeia:

d y d θ = d y d x ∙ d x d θ

Isolando d y d x que corresponde a inclinação da reta tangente temos:

d y d x = d y / d θ d x / d θ

Passo 2

Mas sabemos calcular quem é d y / d θ e quem é d x / d θ .

d y d θ = cos ⁡ θ - 2   s e n   2 θ

d x d θ = - s e n   θ + 2 cos ⁡ 2 θ

Como queremos a reta tangente no ponto θ = 0 , então a inclinação da reta tangente a esse ponto é:

d y d x = d y / d θ d x / d θ = cos ⁡ θ - 2   s e n   2 θ - s e n   θ + 2 cos ⁡ 2 θ = 1 2

Passo 3

Desta forma para montarmos a equação da reta, podemos usar a relação: y - y 0 = m   ( x - x 0 ) , onde m é a inclinação da reta e x 0 , y 0 é um ponto da reta.

Neste caso o ponto é:

x = cos ⁡ 0 - 2 s e n   2 ∙ 0 = 1

y = - s e n   0 + 2 cos ⁡ 2 ∙ 0 = 2

Então a equação da reta tangente é:

y - 2 = 1 2 ( x - 1 )

y = 1 2 x + 3 2

Resposta

y = 1 2 x + 3 2

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