Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 10.2 - Ex. 3
Encontre uma equação da tangente à curva no ponto correspondente ao valor do parâmetro dado.
Passo 1
Faaaaaala galera! Bom, a inclinação da reta tangente a uma curva é dada pela derivada dessa curva em determinado ponto, né não? Algo do tipo:
Mas bem, como não conseguimos escrever de forma explícita , ou seja, como uma função de , não dá pra derivar diretamente. O que precisamos fazer é lembrar que e portanto, a inclinação da tangente em um ponto será:
E olha a malandragem. Se derivarmos em relação a , pela regra da cadeia, temos:
Mexendo nisso, ficamos com:
Passo 2
Beleza, agora temos coisas que conseguimos derivar. Seja, do enunciado:
As derivadas em relação a serão:
E portanto:
Passo 3
Show, achamos uma fórmula pra inclinação da tangente. Mas ainda não modelamos a equação inteira da reta! De forma geral, temos:
Onde:
- Ponto de tangência
- Inclinação da tangente
Como tanto o ponto de tangência quanto a inclinação podem ser escritas em função do parâmetro , no “instante” de tangência temos:
E o enunciado deu pra gente o valor desse parâmetro! Vamos ter:
Substituindo, pro ponto :
Pra inclinação da tangente:
Feshow! Agora é só terminar a modelagem:
Passo 4
Esse passo é só pra gente ver quão bonito fica essa tangente hahahaa, saca só: