Enunciado

Encontre uma equação da tangente à curva no ponto correspondente ao valor do parâmetro dado.

x = t 4 + 1 ,   y = t 3 + t ; t = - 1

Passo 1

Faaaaaala galera! Bom, a inclinação da reta tangente a uma curva é dada pela derivada dessa curva em determinado ponto, né não? Algo do tipo:

y = y x

i n c l i n a ç ã o = y ' x 0

Mas bem, como não conseguimos escrever de forma explícita y = y x , ou seja, y como uma função de x , não dá pra derivar diretamente. O que precisamos fazer é lembrar que x = x t e portanto, a inclinação da tangente em um ponto t o será: i n c l i n a ç ã o = y ' x t o

E olha a malandragem. Se derivarmos y em relação a t , pela regra da cadeia, temos:

d y d t = d y d x ∙ d x d t

Mexendo nisso, ficamos com:

d y d x = d y d t d x d t

Passo 2

Beleza, agora temos coisas que conseguimos derivar. Seja, do enunciado:

x = t 4 + 1

y = t 3 + t

As derivadas em relação a t serão:

d x d t = 4 t 3

d y d t = 3 t 2 + 1

E portanto:

d y d x = d y d t d x d t = 3 t 2 + 1 4 t 3

y ' t = 3 t 2 + 1 4 t 3

Passo 3

Show, achamos uma fórmula pra inclinação da tangente. Mas ainda não modelamos a equação inteira da reta! De forma geral, temos:

y = m x - x o + y o

Onde:

  • P = x o , y o Ponto de tangência
  • m = y ' x o Inclinação da tangente

Como tanto o ponto de tangência quanto a inclinação podem ser escritas em função do parâmetro t , no “instante” de tangência t o temos:

P = x t o , y t o = t o 4 + 1 , t o 3 + t o

m = y ' t o = 3 ∙ t o 2 + 1 4 ∙ t o 3

E o enunciado deu pra gente o valor desse parâmetro! Vamos ter:

t o = - 1

Substituindo, pro ponto P :

P = x o , y o = - 1 4 + 1 , - 1 3 - 1

P = x o , y o = 1 + 1 , - 1 - 1

P = x o , y o = 2 , - 2

Pra inclinação da tangente:

m = y ' - 1 = 3 ∙ - 1 2 + 1 4 ∙ - 1 3

m = y ' - 1 = 3 + 1 - 4

m = y ' - 1 = - 1

Feshow! Agora é só terminar a modelagem:

y = m x - x o + y o

y = - x - 2 - 2

y = - x + 2 - 2

y = - x

Passo 4

Esse passo é só pra gente ver quão bonito fica essa tangente hahahaa, saca só:

Resposta

y = - x

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