Enunciado

Encontre uma equação da tangente à curva no ponto correspondente ao valor do parâmetro dado:

x = t - t - 1

y = 1 + t 2

t = 1

Passo 1

O vetor tangente à curva é dado por

d y d x = d y d t d x d t

Assim, precisamos encontrar as derivadas de x e y em relação a t e substituir nessa fórmula.

Passo 2

Vamo começar pela derivada de y :

y = 1 + t 2

d y d t = 2 t

Agora a derivada de x :

x = t - t - 1

d x d t = 1 + t - 2 = 1 + 1 t 2 = t 2 + 1 t 2

Substituindo na fórmula

d y d x = d y d t d x d t = 2 t t 2 + 1 t 2

d y d x = 2 t 3 t 2 + 1

Em t = 1 :

d y d x = 2.1 3 1 2 + 1 = 1

Passo 3

Agora a gente precisa o ponto de tangencia. Para isso é só substituir t = 1 na parametrização da curva.

x 1 = 1 - 1 - 1 = 0

y 1 = 1 + 1 2 = 2

E temos o ponto ( 0,2 )

Passo 4

E pronto! Agora temos tudo que precisamos para encontrar a equação da reta tangente. É só substituir na fórmula:

y - y 0 = d y d x ( x - x 0 )

y - 2 = 1 ( x - 0 )

y = x + 2

Resposta

y = x + 2

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