Enunciado

Nos Exercícios de 29 a 32, ache a medida, em graus, do menor ângulo entre as retas tangentes ao par de curvas dadas nos pontos de intersecção indicados.

32. r = - 4 s e n   θ r = 4 cos ⁡ 2 θ ; a   o r i g e m

Passo 1

Então galera, o que devemos fazer é determinar χ para cada uma das curvas. Mas po, o que seria esse termo aí? Esse termo é exatamente o ângulo entre a curva e a reta tangente no ponto! Esse termo pode ser descoberto utilizando-se da seguinte relação:

t g   χ = r d r d θ

Depois disso, basta fazermos:

β = χ 1 -   χ 2

Esse   β é exatamente o ângulo que estamos procurando! Agora que já sabemos o que temos que determinar, mãos a obra galera!

Passo 2

Para a origem, temos:

r = - 4 s e n   θ

s e n   θ = 0

∴ θ = 0

r = 4 cos ⁡ 2 θ

cos ⁡ 2 θ = 0

∴ θ = π 4

Como θ = 0 não pode ocorrer, uma vez que a derivada de uma das funções é zero nesse ponto, então teremos que utilizar π 4 , ok? Sendo assim, para o ponto 0 ,   π 4 , temos:

r = - 4 s e n π 4 = - 2 2

d r d θ = - 4 cos ⁡ θ = - 2 2

t g   χ 1 = - 2 2 - 2 2 = 1

∴ χ 1 = 45 °

r = 4 cos ⁡ 2 π 4 = 0

d r d θ = - 8 s e n   2 θ = - 8

t g   χ 2 = 0

∴ χ 2 = 0

Por fim, achando β :

β = 45 °

E esse é o menor ângulo entre as retas tangentes ao par de curvas dadas pelo enunciado.

Resposta

β = 45 °

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Seja P x 1 , y 1 um ponto na elipse x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 com focos F 1 e F 2 e seja α e β os ângulos entre as retas P F 1 , P F 2 e a elipse, como na figura. Demonstre que α = β . Isso explica como g
Calcule a inclinação da reta tangente para a curva polar dada no ponto especificado pelo valor de θ . r = 2 sen ⁡ θ ,θ = π / 6
Calcule a inclinação da reta tangente para a curva polar dada no ponto especificado pelo valor de θ . r = cos ⁡ ( θ / 3 ) ,θ = π
Calcule a inclinação da reta tangente para a curva polar dada no ponto especificado pelo valor de θ . r = cos ⁡ ( 2 θ ) ,θ = π / 4
Os círculos r = 3 cos θ e r = sen θ se intersectam no ponto 3 2 , π 3 . Mostre que suas tangentes são perpendiculares ali.