Enunciado

Encontre uma equação da tangente à curva no ponto correspondente ao valor do parâmetro dado.

x = 2 t 2 + 1 ,                     y = 1 3 t 3 - t ;               t = 3

Passo 1

O exercício quer que você encontre a equação da reta tangente à curva parametrizada dada. Para isso, precisamos achar o ponto ( x 0 , y 0 ) de tangência e a inclinação da reta, dada pela derivada da curva nesse ponto!

Para achar x 0 e y 0 , basta trocar t = 3 nas equações:

x 0 = 2 ⋅ 9 + 1 = 19

y 0 = 1 3 ⋅ 27 - 3 = 6

Passo 2

Para achar a inclinação, temos que derivar a curva:

d y d x = d y d t d x d t = t 2 - 1 4 t

Substituindo t = 3 , achamos o coeficiente angular da reta tangente:

m = 9 - 1 12 = 8 12 = 2 3

Passo 3

Sabemos que a equação da reta tangente é

y - y 0 = m   ( x - x 0 )

Assim,

y - 6 = 2 3   ( x - 19 )

Logo,

3 y - 1 8 = 2 x - 38

Portanto,

2 x - 3 y - 20 = 0

Resposta

2 x - 3 y - 20 = 0

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre d y / d x e d ² y / d x ² ² ². Para quais valores de t a curva é côncava para cima? x = t 2 + 1 y = e t - 1
Ache d y d x x = te t y = t + sin ⁡ t
Encontre d y / d x e d ² y / d x ² ² ². Para quais valores de t a curva é côncava para cima? x = t 3 + 1 y = t 2 - t
Encontre uma equação da tangente à curva no ponto correspondente ao valor do parâmetro dado x = e t sin ⁡ π t y = e 2 t t = 0
Ache d y d x x = t 1 + t y = 1 + t