Enunciado

Encontre uma equação da(s) tangente(s) à curva no ponto dado. Então, plote a curva e a(s) tangente(s).

x = s e n   t ,               y = s e n   ( t + s e n   t ) ,             0 ,   0

Passo 1

Olá, meu amigo. Vou te ajudar a entender e a resolver essa atividade.

A gente tem a curva parametrizada:

x = sin ⁡ t

y = sin ⁡ t + sin ⁡ t

E queremos descobrir uma ou mais equações da reta tangente a está curva, no ponto:

0,0

A equação da reta tangente a uma curva é dada por:

y - y 1 = d y d x t x - x 1

Onde x 1 ,   y 1 é o ponto da tangencia, e d y d x t é a inclinação da reta tangente, também chamado de coeficiente angular da reta e comumente denotado por m , que é dada pela derivada da curva no ponto x 1 .

Então é isso que iremos fazer aqui, iremos derivar, substituir os pontos e montarmos nossa reta.

Passo 2

Para achar a inclinação, temos que derivar a curva:

Sabemos que para derivar y , deveremos aplicar a regra da cadeia, já que temos uma função composta:

d y d t = d d u sin ⁡ u ∙ d t + sin ⁡ t d t

E para

d x d t = cos ⁡ t

Substituindo:

d y d x = d y d t d x d t = cos ⁡ t + s e n   t ⋅ ( 1 + cos ⁡ t ) cos ⁡ t

Como queremos a equação da reta tangente no ponto ( 0,0 ) precisamos realizar a substituição nas equações de x e y e encontrarmos os valores de t para quais temos x = 0

x t = 0

t = 0

Substituindo esse resultado na equação do coeficiente angular:

m = cos ⁡ 0 ⋅ ( 1 + cos ⁡ 0 ) cos ⁡ 0 = 2

Agora é hora de montarmos nossa equação.

Passo 3

Sabemos que a equação da reta tangente é

y - y 0 = m   ( x - x 0 )

Assim, para t = 0

y - 0 = 2   ( x - 0 )

y = 2 x

Agora podemos conferir nosso resultado com o gráfico abaixo:

Temos nossa curva de vermelho e a equação da sua reta tangente de azul.

Resposta

y = 2 x

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