Enunciado

Encontre equações da linha tangente e da linha normal para o curva no ponto dado.

y 2 = x 3

( 1,1 )

Passo 1

Bom galera, o problema quer a equação de uma linha tangente e uma linha normal á curva da função, a equação de uma linha é dada assim:

y = a x + b

E a é o coeficiente angular, que é pode ser encontrada pela derivada naquele ponto x = 1 , logo o coeficiente da linha tangente é:

a T = f ' ( 1 )

E o coeficiente dá linha normal é:

a N = - 1 f ' 1

Passo 2

Beleza, pela geral da derivada, vamos encontrar a derivada da função:

f x 2 = x 3

→ f x = x 3 2

Que é:

f ' x = 3 2 x 3 2 - 1

→ f ' x = 3 2 x 1 2

E aplicando x = 1 vamos encontrar o coeficiente angular da reta tangente:

a T = f ' 1 = 3 2 ( 1 ) 1 2 = 3 2

Já o coeficiente da reta normal é:

a N = - 1 3 / 2 = - 2 3

Passo 3

Show de bola, a gente tem o ponto por onde as reta vão passar, que é:

( 1,1 )

E os coeficientes angulares:

a T = 3 2

a N = - 2 3

Então vamos usar a equação da reta com o que já temos para encontrar o que falta:

y T = a T x + b T

→ 1 = 3 2 1 + b T

Assim encontramos:

b T = - 1 2

E também:

y N = a N x + b N

→ 1 = - 2 3 1 + b N

Encontramos:

b N = 5 3

Passo 4

Por fim, nós só precisamos montar a equação com que a gente encontrou:

y T = 3 2 x - 1 2

y N = - 2 3 x + 5 3

Resposta

y T = 3 2 x - 1 2

y N = - 2 3 x + 5 3

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