Enunciado

Onde a linha normal da parábola y = x 2 - 1 no ponto ( - 1,0 ) cruza a parábola uma segunda vez? Ilustre com um esboço.

Passo 1

Bom galera, o problema quer saber se uma linha normal que passe pelo ponto ( - 1,0 ) da curva passa por algum outro ponto, para isso vamos encontrar a equação dessa linha normal.

A equação da linha é dada por:

y = a x + b

E a é o coeficiente angular da linha, e a gente pode encontrar por essa relação com a derivada:

- 1 f ' x = a

Passo 2

Beleza, a gente quer encontrar o coeficiente angular, para isso vamos usar a relação com a derivada para o x = - 1 que é o ponto de intersseção:

- 1 f ' - 1 = a

A gente deriva a função da curva rapidindo com a regra geral e da soma:

y = x 2 - 1

→ f ' ( x ) = 2 x

Vamos usar a relação e fica:

a = - 1 f ' - 1 = - 1 2 ( - 1 )

Então:

a = 1 2

Passo 3

Show de bola, a gente a gente já tem o ponto:

( - 1,0 )

E o coeficiente angular:

a = 1 2

Então vamos usar a equação da reta com o que já temos para encontrar o que falta:

y = a x + b

→ 0 = 1 2 - 1 + b

Assim encontramos:

b = 1 2

Passo 4

Continuando, nós só precisamos montar as equações com o que a gente encontrou:

y = x 2 + 1 2 → y = x + 1 2

A gente iguala essa equação com a da curva pra encontrar-mos as interseções:

x 2 - 1 = x + 1 2 → 2 x 2 - 2 = x + 1

→ 2 x 2 - 2 - x - 1 = 0 → 2 x 2 - x - 3 = 0

Resolvendo: 2 x 2 - x - 3 = 0

Encontramos x = 1,5 e x = - 1 . Como já usamos o x = - 1 , vamos calcular o ponto em x = 1,5 :

x = 1,5 → y = 1,25

Passo 5

Logo, o segundo ponto de interseção é 1,5 ,   1,25 . Fazendo um gráfico fica assim:

Resposta

Sim, no ponto 1,5 ,   1,25 .

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