Enunciado

Encontre as equações paramétricas para o conjunto de todos os pontos P , como mostrado na figura, tais que O P = A B . Esboce a curva. (Essa curva é chamada cissoide de Diocles, em homenagem ao estudioso grego Diocles, que introduziu a cissoide como um método gráfico para a construção da aresta de um cubo cujo volume é o dobro daquele de um cubo dado).

Passo 1

Queremos encontrar as coordenadas ( x , y ) do ponto P m função de θ .

Vamos considerar um triângulo inscrito na semicircunferência, e um outro trângulo dentro dele, assim:

Todos são triangulos retângulo.

Podemos dizer que as coordenadas de P são

x = O D = O P cos ⁡ θ

y = P D = O P sen ⁡ θ

Tranquilo? Tirei isso de relações trigonométricas do triangulo O P D .

Agora precisamos descobrir quanto vale O P . E vamos fazer isso descobrindo quanto vale A B , já que eles são iguais.

Passo 2

Para isso, vamos usar o triangulo O A C .

Podemos dizer que

cos ⁡ θ = O A 2 a

Assim

O A = 2 a cos ⁡ θ

Agora, pelo triangulo grandão O B C , podemos dizer que:

cos ⁡ θ = 2 a O B

O B = 2 a cos ⁡ θ

Opa, temos O B e temos O A . Com isso, podemos achar A B e consequentemente O P pois

O P = A B = O B - O A

O P = A B = 2 a cos ⁡ θ - 2 a cos ⁡ θ

O P = A B = 2 a 1 cos ⁡ θ - cos ⁡ θ

O P = A B = 2 a 1 - cos 2 ⁡ θ cos ⁡ θ

O P = A B = 2 a sen 2 ⁡ θ cos ⁡ θ

Passo 3

Assim, a parametrização da nossa curva fica:

x = O D = 2 a sen 2 ⁡ θ cos ⁡ θ cos ⁡ θ = 2 a sen 2 ⁡ θ

y = P D = 2 a sen 2 ⁡ θ cos ⁡ θ sen ⁡ θ = 2 a sen 3 ⁡ θ cos ⁡ θ

Passo 4

Esboçando a curva, arbitrando a = 1 e chutando alguns valores para θ temos:

Resposta

x = 2 a sen 2 ⁡ θ

y = 2 a sen 3 ⁡ θ cos ⁡ θ

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