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Exercícios Resolvidos de Cálculo Volume 2 8ª Edição - James Stewart

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 8ª Edição - James Stewart - 10.1 - 43

Uma curva, denominada bruxa de Maria Agnesi, consiste em todas as possíveis posições possíveis do ponto P na figura. Mostre que as equações paramétricas para essa curva podem ser escritas como

x = 2 a   cot g ⁡ θ

y = 2 a sen 2 ⁡ θ

Esboce a curva.

Passo 1

Queremos as coordenadas ( x , y ) do ponto P em função de θ , certo?

Vamos imaginar alguns triângulos retângulos nessa figura, assim:

Então temos o triângulo menorzinho, que é o triângulo C A P , o triangulo maior, que é o triangulo C O D , temos também o triângulo O A B e, por fim, o triangulo O A E , que está inscrito na semi circunferência, beleza?

E ah, importante! Como esse ultimo triangulo tá inscrito na semi circunferência,ele também é triângulo retângulo, tá certo?

Se você reparar pela figura podemos dizer que as coordenadas do nosso ponto P são

x = O D

y = A B

Só precisamos descobrir a medida desses segmentos e teremos a parametrização que queremos.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Como estamos falando de triângulos retângulos, podemos usar relações com seno e cosseno, assim:

Do triangulo O A B :

sin ⁡ θ = A B O A = y O A

OK, vamos reservar isso.

E do triangulo C O D :

cos ⁡ θ = O D O C = x O C

Reservamos isso também.

Passo 3

O que sabemos até agora é que

y = O A s e n ⁡ θ  

x = O C cos ⁡ θ

Agora vamos descobrir a medida desses segmentos O A e O C e matar logo essa questão.

Vamos primeiro descobrir O A .

Pra isso, vamos olhar pro triangulo que tá inscrito na semi circunferência, o triangulo O A E .

Olhando para esse triangulo, temos que

sen ⁡ θ = O A 2 a

O A = 2 a sen ⁡ θ

Lembrando que θ é um algulo alterno interno.

Assim,

y = 2 a sen 2 ⁡ θ

Já provamos uma parte!

Falta só provar a parametrização do x agora.

Passo 4

Vamos lá.

Precisamos descobrir quando vale o segmento O C .

Para isso vamos olhar o triangulo maior, C O D .

O segmento C D vale 2 a , assim, podemo dizer que

sen ⁡ θ = C D O C = 2 a O C

O C = 2 a sen ⁡ θ

Substituindo em x :

x = O C cos ⁡ θ

x = 2 a sen ⁡ θ cos ⁡ θ

E cos ⁡ θ sen ⁡ θ nada mais é do que a tal da cotangente. Assim,

x = 2 a   cot g ⁡ θ

Passo 5

Fazendo a = 1 , e escolhendo alguns valores de θ dentro do intervalo 0 ≤ θ ≤ π , o esboço da curva fica

Resposta

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