Enunciado

Encontre equações paramétricas e um intervalo de parâmetro para o movimento de uma partícula que se move ao longo do gráfico de y = x 2 da seguinte forma: começa em (0, 0), move-se para (3, 9) e em seguida se desloca para frente para trás de (3, 9) para (-3, 9) infinitamente.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

No início da tarefa, observe que a variável x assume todos os valores dentro do intervalo [ - 3.3 ] . Ou seja, a partícula se move ao longo de uma parábola e, ao atingir o ponto de coordenada x = 3 , começa a retornar ao ponto de coordenada x = - 3 .

Para as funções seno e cosseno, é válido que assumam valores entre −1 e 1, ou seja,

- 1 ≤ sen ⁡ t ≤ 1

- 1 ≤ cos ⁡ t ≤ 1

Portanto, se quisermos limitar a variável entre −3 e 3, basta multiplicarmos as desigualdades anteriores por 3.

Passo 2

Pelas condições da tarefa, sabemos que a partícula começa a se mover a partir do ponto (0,0). Quando t = 0 , a partícula está localizada em (0,0). Portanto, temos que ver quando, em vez de t, incluímos 0 em 3 cos ⁡ t e 3 sen ⁡ t , cuja expressão dará 0 (porque a coordenada x do ponto inicial é igual a 0).

3 cos ⁡ 0 = 3 ∙ 1 ≠ 0

3 sen ⁡ 0 = 3 ∙ 0 = 0

Pela expressão anterior, vemos que é melhor parametrizar a variável x com 3 sen ⁡ t porque satisfaz a condição inicial de que para t = 0 , a variável x é igual a 0 .

x = 3 sen ⁡ t

Como y é dado como x 2 (função quadrática), se incluirmos a expressão 3 sen ⁡ t em vez de x , obtemos:

y = 3 sen ⁡ t 2 = 9 sen 2 ⁡ t

Como a partícula está na origem no momento inicial, então o parâmetro t é igual a 0. A partícula então se move para o ponto (3,9) e retorna para (−3,9) infinitas vezes. Portanto, o parâmetro t não tem limite, ou seja, vai ao infinito:

t ∈ 0 , ∞

A equação paramétrica é dada por

x = 3 sen ⁡ t y = 9 sen 2 ⁡ t ,     t ∈ [ 0 , ∞ )

Resposta

x = 3 sen ⁡ t y = 9 sen 2 ⁡ t ,     t ∈ [ 0 , ∞ )

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Nos Exercícios 21-26, encontre uma parametrização para a curva:o segmento de reta com extremidades (-1, 3) e (3, -2).