Enunciado

Nos Exercícios 21-26, encontre uma parametrização para a curva

23. a metade inferior da parábola x - 1 = y 2 .

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

No início da tarefa, vamos desenhar uma parábola

x = y 2 + 1     ( 1 )

no sistema de coordenadas cartesianas.

Como na parábola (1), x depende da variável y, então a parábola será direcionada ao longo do eixo x. Para desenhar a parábola (1), vemos pela equação que o vértice estará localizado em ( 1,0 ) (por causa de + 1 em y 2 + 1 ). Com isso obtemos o gráfico da parábola:

Passo 2

Pelas condições da tarefa, sabemos que precisamos apenas da equação paramétrica da parábola localizada abaixo do eixo x (a metade inferior da parábola). Quando a parábola está abaixo do eixo x , então y assume valores negativos. Portanto,

y ≤ 0

Escrevemos a equação da metade inferior da parábola (1) como:

x = y 2 + 1 ,     y ≤ 0     ( 2 )

Como x depende de y , podemos declarar y com o parâmetro t , ou seja,

y = t

y assume valores menores ou iguais a 0 , e então t também assume valores menores ou iguais a 0 :

t ≤ 0

Então, na equação (2), incluímos t em vez de y :

x = t 2 + 1 ,     t ≤ 0

Nossa parametrização fica do seguinte tipo

x = t 2 + 1 ,   y = t ,     t ≤ 0

Resposta

x = t 2 + 1 ,   y = t ,     t ≤ 0

Exercícios de Livros Relacionados

Descreva o movimento de uma partícula com posição ( x , y ) quando t varia no intervalo dado. x = 5 sen ⁡ t y = 2 cos ⁡ t - π ≤ t ≤ 5 π
Verificar quais das seguintes curvas são suaves:e) r → t = 2 cos ⁡ t ,3 s e n t , t ∈ 0 ,2 π
Verificar quais das seguintes curvas são suaves:d) r → t = 3 cos 3 ⁡ t ,3 s e n 3 t , t ∈ π 6 , π 3
Verificar quais das seguintes curvas são suaves:c) r → t = 2 t - s e n t i → + 2 1 - cos ⁡ t j → , t ∈ π , 3 π
Verificar quais das seguintes curvas são suaves:b) r → t = t 3 i → + t 2 j → , t ∈ 1 2 , 1