Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart - Capítulo 13.2 - Ex. 29

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Encontre as equações paramétricas para a reta tangente à curva dada pelas equações paramétricas, no ponto especificado. Ilustre traçando o gráfico da curva e da reta tangente em uma mesma tela.

x = t ,     y = e - t ,     z = 2 t - t 2 ;       ( 0 ,   1 ,   0 )

Passo 1

A equação vetorial da curva é r t = ( t ,   e - t ,   2 t - t 2 ) .

O valor do parâmetro no ponto considerado ( 0 ,   1 ,   0 ) é t = 0 pois temos

x = t ,   x = 0   →     t = 0

Passo 2

A derivada da função vetorial é dada por

r ' t = ( 1 ,   - e - t ,   2 - 2 t )

Portanto, o vetor tangente no ponto especificado, ou seja, para t = 0 , é

r ' 0 = ( 1 , - 1 ,   2 )

Passo 3

A reta tangente, cujas equações paramétricas procuramos, passa pelo ponto ( 0 ,   1 ,   0 ) e é paralela ao vetor tangente r ' 0 = ( 1 , - 1 ,   2 ) .Logo, pela Equação 12.5.2, as equações paramétricas podem ser calculadas:

x = 0 + t                     y = 1 - t                     z = 0 + 2 t

Ou melhor

x = t                     y = 1 - t                     z = 2 t

Passo 4

Com base nas equações paramétricas da curva e da reta é possível traçar os gráficos de ambas numa mesma tela utilizando softwares como mostrado abaixo:

Resposta

x = t                     y = 1 - t                     z = 2 t

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