Enunciado

Encontre as equações da reta tangente e da reta normal à curva dada no ponto especificado:

y = x x + 1 ,                                           4 ,   0.4

Passo 1

Eaee, belezinha??? Bom... Queremos determinar as equações das retas tangente e normal à curva dada por y = x x + 1 no ponto ( 4 ,     0.4 ) .

Para isso, sabe-se que a equação de uma reta pode ser dada em sua forma reduzida

y = m x + q

Onde m é a inclinação da reta e q o coeficiente linear (interseção com o eixo y ) que precisamos descobrir.

A inclinação m pode ser dada por m = y ' ( 4 ,     0.4 ) , que representa a derivada da função da curva no ponto ( 4,0.4 ) .

Vamos, então, ter que obter a derivada de

y = x x + 1 = x 1 2 x + 1

Para isso, teremos que usar a Regra da Derivada do Quociente.

Sejam h e g duas funções deriváveis, então a derivada do quociente h / g é dada por:

d d x h x g x = g x d d x h x - h x d d x   g x g x 2

Agora bora aplicar!!

Passo 2

Assim, aplicando a regra do quociente, temos:

y ' = 1 2 x - 1 2 x + 1 - x 1 2 1 x + 1 2 = 1 2 - x 1 2 + x - 1 2 x + 1 2

Daí, teremos que, substituindo pelo ponto dado:

m = y ' 4,0.4 = 1 2 - 4 1 2 + 4 - 1 2 4 + 1 2 = - 3 100

Usando o fato de que a reta passa pelo ponto ( 4 ,     0.4 ) , pois é o ponto de tangência, então temos:

0.4 = - 3 100 4 + q    

q = 13 25

Portanto, a equação da reta tangente será y = - 3 100 x + 13 25  

Passo 3

Sabe-se que a inclinação da reta normal m N pode ser dada por

m N = - 1 m = - 1 - 3 100 = 100 3  

E usando o fato de que a reta normal também passa por ( 4 ,     0.4 ) , então:

0.4 = 100 3 4 + q N

q N = 1994 15

Onde q N é o coeficiente linear da reta normal.

Logo, a equação da reta normal será

y = 100 3 x + 1994 15

Resposta

y = - 3 100 x + 13 25   y = - 1 2 x

y = 100 3 x + 1994 15  

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