Enunciado

Encontre as equações de retas tangentes à curva

y = x - 1 x + 1

Que sejam paralelas à reta x - 2 y = 2

Passo 1

Fala aí! tudo certinho? 😁

Queremos encontrar as equações das retas que são tangentes à curva dada por y = x - 1 x + 1 e paralelas à reta dada por x - 2 y = 2     →     y = 1 2 x - 1 .

Parece complicado? 🤔

Sabe-se que a equação de uma reta pode ser dada por y = m x + q , onde m é a inclinação da reta.

Neste caso, a reta dada tem inclinação m = 1 2 .

Para duas ou mais retas serem paralelas deveremos ter suas inclinações de mesmo valor m .

Daí, conclui-se que as retas tangentes deverão ter m = 1 2 .

Veja só! 😉

Passo 2

Sabe-se, também, que a inclinação de uma tangente pode ser dada por m = y ' x 0 ,   y 0 , onde y ' é a derivada da função da curva e ( x 0 ,   y 0 ) o ponto de tangência.

Para derivarmos a função da curva, usaremos a Regra do Quociente , assim temos que:

y = f g → y ' = f ' · g - f · g ' g 2

Se f = x - 1 e g = x + 1 , temos que

f ' = 1 ,     g ' = 1

Substituindo na regra do quociente...

y ' = 1 x + 1 - x - 1 1 x + 1 2

y ' = 2 x + 1 2

Então

m = y ' x 0 , y 0 = 2 x 0 + 1 2 = 1 2

Resolvendo essa equação em x 0 obteremos:

4 = x 0 + 1 2

x 0 = ± 2 - 1

x 0 = 1 - 3

Tranquilo até aqui? 😇

Passo 3

O ponto ( x 0 , y 0 ) pertence à curva, então temos que y 0 = x 0 - 1 x 0 + 1

Assim, para x 0 = 1 temos

y 0 = 1 - 1 1 + 1 = 0

Para x 0 = - 3 temos

y 0 = - 3 - 1 - 3 + 1 = - 4 - 2 = 2

Logo, temos duas tangentes, t 1 e t 2 , para cada ponto ( x 0 , y 0 ) , uma para o ponto ( 1 ,   0 ) e outra para o ponto ( - 3 ,   2 ) , respectivamente.

Assim, t 1 :     y = m x + q 1     →     y = 1 2 x + q 1 . Substituindo o ponto ( 1,0 ) na equação da tangente :

y 0 = 1 2 x 0 + q 1     →     0 = 1 2   1 + q 1  

q 1 = - 1 2

Logo, temos

t 1   :     y = 1 2 x - 1 2

Para a outra tangente, temos t 2   :   y = m x + q 2     →     y = 1 2 x + q 2 .

Substituindo o ponto ( - 3   ,   2 ) na equação da segunda tangente :

y 0 = 1 2 x 0 + q 2     →     2 = 1 2   - 3 + q 2

q 2 = 7 2

Logo, temos

t 2 :     y = 1 2 x + 7 2

E então! O que achou? Responde Aí!

Resposta

y = 1 2 x - 1 2

y = 1 2 x + 7 2

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