Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.2 - Ex. 54
Encontre as equações de retas tangentes à curva
Que sejam paralelas à reta
Passo 1
Fala aí! tudo certinho? 😁
Queremos encontrar as equações das retas que são tangentes à curva dada por e paralelas à reta dada por .
Parece complicado? 🤔
Sabe-se que a equação de uma reta pode ser dada por , onde é a inclinação da reta.
Neste caso, a reta dada tem inclinação .
Para duas ou mais retas serem paralelas deveremos ter suas inclinações de mesmo valor .
Daí, conclui-se que as retas tangentes deverão ter .
Veja só! 😉
Passo 2
Sabe-se, também, que a inclinação de uma tangente pode ser dada por , onde é a derivada da função da curva e o ponto de tangência.
Para derivarmos a função da curva, usaremos a Regra do Quociente , assim temos que:
Se e , temos que
Substituindo na regra do quociente...
Então
Resolvendo essa equação em obteremos:
Tranquilo até aqui? 😇
Passo 3
O ponto pertence à curva, então temos que
Assim, para temos
Para temos
Logo, temos duas tangentes, e , para cada ponto , uma para o ponto e outra para o ponto , respectivamente.
Assim, . Substituindo o ponto na equação da tangente :
Logo, temos
Para a outra tangente, temos .
Substituindo o ponto na equação da segunda tangente :
Logo, temos
E então! O que achou? Responde Aí!