Enunciado

Encontre as equações para as retas que sejam tangentes e normais à curva no ponto dado.

y - x 2 = 2 x + 4   ,     ( 6 ,   2 )

Passo 1

Para encontrar a equação da reta tangente ( y = a x + b ) precisamos utilizar que o coeficiente angular ( a ) da reta é igual a primeira derivada no ponto dado e em seguida substituímos o ponto dado na equação da reta para obter o valor do coeficiente linear ( b ) . Para encontrar a equação da reta normal utilizamos que o produto do coeficientes angulares de duas retas perpendiculares é igual a - 1 e faremos da mesma forma para encontrar o valor do coeficiente linear.

Passo 2

Como não é possível isolar o y utilizaremos derivação implícita:

2 y - x y ' - 1 = 2

y ' - 1 = 1 y - x

y ' = 1 + 1 y - x

Agora substituímos o ponto dado na equação:

y ' = 1 + 1 2 - 6

y ' = 3 4

Para encontrar o coeficiente angular da reta normal utilizamos que m 1 . m 2 = - 1 :

3 4 . m 2 = - 1

m 2 = - 4 3

Passo 3

Agora devemos montar a equação da reta e substituir o ponto para achar os coeficientes lineares.

Reta tangente: y = 3 4 x + b

2 = 3 4 . 6 + b

b = - 5 2

Reta normal: y = - 4 3 x + b

2 = - 4 3 . 6 + b

b = 10

Resposta

Reta tangente: y = 3 4 x - 5 2

Reta normal: y = - 4 3 x + 10

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44. Ache uma equaçãode cada uma das retas tangentes à curva 3 y = x 3 - 3 x 2 + 6 x + 4 que sejam paralelas à reta 2 x - y + 3 = 0.
41. Ache uma equação da retatangente à curva y = 3 x 2 - 4 x e paralela à reta 2 x - y + 3 = 0 .
43. Ache uma equação das retas normais à curva y = x 3 - 4 x que sejam paralelas à reta x + 8 y - 8 = 0 .
42. Ache uma equação da reta tangente à curva y = x 4 - 6 x que seja perpendicular à reta x - 2 y + 6 = 0 .
45. Ache uma equação de cada uma das retas que passam pelo ponto (4,13), que sejam tangentes à curva y = 2 x 2 - 1 .