Enunciado

Determine os valores extremos (absoluto e local) das funções e onde ocorrem:

y =   3 + 2 x - x 2

Passo 1

Sabendo que um ponto crítico é um valor extremo de uma função, a derivada da função deve ser igual a 0, uma vez que representa a inclinação de uma reta tangente que passa por esse ponto.

Encontrados os pontos críticos, é necessário ter noções do gráfico da função para classificá-los como máximo ou mínimo, global ou local.

Passo 2

Derivando a equação, teremos:

y ' = 2 - 2 x 2 3 + 2 x - x 2 = 2 1 - x 2 3 + 2 x - x 2 = 1 - x 3 + 2 x - x 2  

Passo 3

Para encontrarmos o ponto crítico, usamos y ' = 0

1 - x 3 + 2 x - x 2 = 0

Racionalizando, teremos:

1 - x 3 + 2 x - x 2 3 + 2 x - x 2 = 0

1 - x = 0

x 1 = 1

3 + 2 x - x 2 = 0

3 + 2 x - x 2 = 0 2

Δ = 16

- 2 ± 16 2 × - 1 = - 2 ± 4 - 2

x 2 = 3       x 3 =   - 1

Passo 4

Substituindo os pontos na função original, temos:

y 1 =   3 + 2 × 1 - 1 2 = 2

y - 1 =   3 + 2 × - 1 - ( - 1 ) 2 = 0

y 3 =   3 + 2 × 3 - 3 2 = 0

Passo 5

Fazendo a análise do gráfico, vemos que:

Resposta

M á x i m o   g l o b a l   e m   x 1 = 1   e   M í n i m o s   g l o b a i s   e m   x 2 = 3       x 3 =   - 1

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