Enunciado

Encontre as equações para as retas que sejam tangentes e normais à curva no ponto dado.

x y + 2 x - 5 y = 2   ,     ( 3 ,   2 )

Passo 1

Para encontrar a equação da reta tangente ( y = a x + b ) precisamos utilizar que o coeficiente angular ( a ) da reta é igual a primeira derivada no ponto dado e em seguida substituímos o ponto dado na equação da reta para obter o valor do coeficiente linear ( b ) . Para encontrar a equação da reta normal utilizamos que o produto do coeficientes angulares de duas retas perpendiculares é igual a - 1 e faremos da mesma forma para encontrar o valor do coeficiente linear.

Passo 2

Para derivar, vamos arrumar a expressão de forma a isolar o y :

x y + 2 x - 5 y = 2  

y x - 5 = 2 - 2 x

y = 2 1 - x x - 5

Para derivar, precisamos utilizar a regra do quociente:

y ' = 2 - x - 5 - 1 - x x - 5 2

y ' = 8 x - 5 2

Agora substituímos o ponto dado na equação:

y ' = 2

Para encontrar o coeficiente angular da reta normal utilizamos que m 1 . m 2 = - 1 :

2 . m 2 = - 1

m 2 = - 1 2

Passo 3

Agora devemos montar a equação da reta e substituir o ponto para achar os coeficientes lineares.

Reta tangente: y = 2 x + b

2 = 6 + b

b = - 4

Reta normal: y = - 1 2 x + b

2 = - 3 2 + b

b = 7 2

Resposta

Reta tangente: y = 2 x - 4

Reta normal: y = - 1 2 x + 7 2

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