Enunciado

37-38 Estime o valor de f ' ( a ) dando um zoom no gráfico de f . Depois derive a f e determine o valor exato de f ' ( a ) e compare com a sua estimativa.

37. f ( x ) = 1 x   ,   a = 4

Passo 1

Olá, meu querido aluno. Vamos resolver juntos essa atividade.

Aqui a gente precisa encontrar a derivada da função:

f ( x ) = 1 x

No ponto a = 4 , de duas formas. Uma utilizando métodos gráficos, e a outra forma é calculando a derivada da forma que estamos acostumados.

Lembre-se do seu início estudando derivadas, onde a derivada da função no ponto dado é a reta tangente nesse ponto.

Então para calcularmos a derivada dessa forma, devemos traçar uma reta tangente na função, em 4 , onde essa reta será a hipotenusa de um triangulo que iremos criar, a partir desse triangulo iremos calcular a inclinação dessa reta com o cateto adjacente, e assim teremos nossa derivada.

Passo 2

Faremos primeiramente o gráfico de f x , com o ponto A em x = 4 :

Agora iremos adicionar dois pontos, que irão nos ajudar a completarmos o triangulo que queremos:

As coordenadas dos pontos, são:

A = 4,0.5

B = 3.85,0.5

C = 3.85,0.51

E o triangulo é:

Agora calculando o ângulo:

f ' 4 = C B ¯ B A ¯

Veja que em C B queremos a altura, sendo assim iremos trabalhar com as coordenadas y , já em B A iremos trabalhar com as coordenadas x :

f ' 4 = 0.51 - 0.5 3.85 - 4 = - 0,01 0,15

f ' ( 4 ) = - 1   15

É aproximado, pois não conseguiríamos traçar certinha a reta!

Passo 3

Agora faremos a derivada de f ' ( x ) .

f ´ x = d d x 1 x

Vamos reescrever a divisão e a raiz:

f ' ( x ) = d d x x - 1 2

Vamos aplicar a regra de derivação para polinômios:

d d x x - 1 2 = - 1 2 x - 1 2 - 1

d d x x - 1 2 = - 1 2 x - 3 2

Temos então a nossa derivada:

f ´ ( x ) = - 1 2 x - 3 2

Passo 4

Agora substituirmos o valor de a = 4 para acharmos o valor de f ´ ( a ) .

f ´ ( 4 ) = - 1 2 4 - 3 2 = - 1 2 1 8 = - 1 16

Supomos o valor de - 1   15 e achamos o valor real de - 1 16 . São bem parecidos hein!!!

Resposta

f ´ ( 4 ) = - 1 16

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