Enunciado

Encontre as equações das retas tangente e normal ao gráfico da equação y = sec - 1 ⁡ 2 x + 1 no ponto 1 2 , π 3 .

Passo 1

Para encontrarmo a reta tangente e a reta normal, precisamos da derivada no ponto que ele deu.

A equação da reta tangente vai ser:

y = a x + b

Onde a vai ser a derivada naquele ponto que ele deu.

A reta normal vai ser

y = m x + n

Onde essa reta é perpendicular À reta tangente, então

m . a = - 1

Tudo se resume a achar a maldita da derivada.

Mas antes de qualquer coisa, vamos verificar que o ponto de fato está na função. Porque se não estiver a conta fica levemente grande.

Subistuindo:

x = 1 2 ,     y = π 3

y = sec - 1 ⁡ 2 1 2 + 1

y = sec - 1 ⁡ 1 + 1

y = sec - 1 ⁡ 2

Usando a ideia de função inversa trigonométrica, vamos ter:

sec ⁡ y = 2

Mas:

sec ⁡ y = 1 cos ⁡ y = 2

cos ⁡ y = 1 2

O ângulo que tem cosseno igual a 1 2 é o π 3 , que é o nosso y do ponto, ufa o ponto está na função.

Vamos para a derivada agora

Passo 2

Para fazer essa derivada precisamos usar a regra da cadeia. Pegando:

F x = y = sec - 1 ⁡ 2 x + 1

Vamos fazer

F x = w h x

Com

w x = sec - 1 ⁡ x

h x = 2 x + 1

Só para organizar as nossas contas.

Vamos ter

F ' x = w ' h x h ' x

Temos

w ' x = 1 x x 2 - 1

Então

F ' x = 1 h x h x 2 - 1 h ' x

Passo 3

Vamos finalizar achando a derivada de h x

h x = 2 x + 1 → h ' x = 2

Vamos ter

F ' x = 1 2 x + 1 2 x + 1 2 - 1 2

F ' x = 2 2 x + 1 4 x 2 + 4 x + 1 - 1

F ' x = 2 2 x + 1 4 x 2 + 4 x

Passo 4

Agora que temos a derivada, vamos achar o valor de a da equação da tangente e de m da reta normal.

y ' 1 2 = 2 2 ∙ 1 2 + 1 4 1 2 2 + 4 1 2

y ' 1 2 = 2 1 + 1 4 ∙ 1 4 + 4 2

y ' 1 2 = 2 2 1 + 2

y ' 1 2 = 1 3

Assim:

a = 1 3

E

1 3 m = - 1

m = - 3

Vamos aos outros coeficientes das duas retas

Passo 5

Reta tangente:

y = 1 3 x + b

Reta normal:

y = - 3 x + n

Ambas passam no ponto 1 2 , π 3 , então basta fazermos:

x = 1 2

y = π 3

Começando na tangente:

π 3 = 1 3 1 2 + b

π 3 = 1 2 3 + b

b = π 3 - 1 2 3

Agora na normal:

π 3 = - 3 1 2 + n

π 3 = - 3 2 + n

n = π 3 + 3 2

AS retas ficam:

Reta tangente:

y = 1 3 x + π 3 - 1 2 3

Reta normal:

y = - 3 x + π 3 + 3 2

Resposta

Reta tangente:

y = 1 3 x + π 3 - 1 2 3

Reta normal:

y = - 3 x + π 3 + 3 2

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Use triângulos de referência como no exemplo 1 para determinar os ângulos nos exercícios abaixo:a) sec - 1⁡ - 2
Use triângulos de referência como no exemplo 1 para determinar os ângulos nos exercícios abaixo:a) sec - 1⁡ 2 3
Use triângulos de referência como no exemplo 1 para determinar os ângulos nos exercícios abaixo:b) cossec - 1⁡ 2
Use triângulos de referência como no exemplo 1 para determinar os ângulos nos exercícios abaixo:a) sec - 1⁡ - 2
Use triângulos de referência como no exemplo 1 para determinar os ângulos nos exercícios abaixo:b) cossec - 1⁡ 2