Enunciado

36. Resolva o Exercício 35, no caso em que o semicírculo transmita somente a metade da luz por metro quadrado da área do retângulo.

Passo 1

Precisamos localizar as figuras e então calcular um ponto de máximo pra que passa metade da quantidade de luz possível pelo semicírculo.

Passo 2

Vamos chamar de r o raio do semicírculo e 2 r o largura do retângulo. Então a altura do retângulo será h = ( 10 - π r - 2 r ) 2 , 10 é o perímetro, π r é o comprimento do semicírculo e 2 r é a largura do retângulo, tudo sobre 2 porque que a altura de um lado só.

Certinho?

Passo 3

Como queremos que o máximo de luz passe, vamos calcular a ára da janela, A ( r ) m2.

A r = π r 2 4 + 2 r . ( 10 - π r - 2 r ) 2 (metade da área do semicírculo + área do retângulo)

A r = 32 r - 2 r 2 - 3 4 π r 2

Passo 4

Para área máxima, precisamos derivar A r e igualar a 0:

A ' r = 32 - 4 r - 3 2 π r = 0

32 - 4 r - 3 2 π r = 0

32 - 4 + 3 2 π r = 0

r = 64 8 + 3 π

Esse é o raio do semicírculo.

A altura do retângulo, com o r que descobrimos, será:

h = ( 10 - π ( 64 8 + 3 π ) - 2 ( 64 8 + 3 π ) ) 2 = 64 + 16 π 8 + 3 π

Mesmo valor do raio

Passo 5

Com o teste da segunda derivada, vamos poder afirmar se os valores que achamos fornecem a maior área possível.

A ' ' r = - 4 + 3 2 π

Como A ' ' r < 0 , o valor que encontramos para r maximiza a área!

Pronto, temos o raio e a altura do retângulo.

Resposta

r = 64 8 + 3 π

h = 64 + 16 π 8 + 3 π

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

38. O custo por hora do combustível para um navio de carga é 1 50 v 3 , onde v nós (milha náutica por hora) é a velocidade do navio. Se houver um custo adicional de $ 400 por hora, qual deverá ser a v
35. Uma janela em estilo normando consiste em um retângulo com um semicírculo sobre ele. Se o perímetro de uma janela normanda for de 10m, determine qual deve ser o raio do semicírculo e a altura do r
41. Uma viga de 27m é transportada horizontalmente por uma passagem com 8 m de largura, e então por um corredor em ângulo reto com a passagem. Qual deve ser a largura do corredor para que a viga possa
37. Ficou determinado que, excluindo-se os salários, o custo por quilômetro para operar um caminhão é de 8 + 1 300 x , onde x km/h é a velocidade do caminhão. Se os salários do motorista e do ajudante
33. Ache a menor distância da origem à reta 3 x + y = 6 , e encontre o ponto P sobre a reta que esteja mais próximo da origem. Então, mostre que a origem está na reta perpendicular à reta dada em P .