Enunciado

17- a) Encontre a excentricidade e a diretriz da cônica r = 1 4 - 3 cos ⁡ θ   e plote a cônica e sua diretriz.

b) Se a cônica girar no sentido anti-horário ao redor da origem por um ângulo π / 3 , escreva a equação resultante e plote sua curva.

Passo 1

Fala ai! Vamos lembrar de um teorema importante citado no livro que vai nos ajudar a resolver essa questãozinha.

a) Teorema 6:

Equação polar tem a forma.

r = e d 1 + e   s e n   θ

Lembrando que e é a excentricidade.

Note que o denominador está como 1 + e   s e n   θ então temos que transformar esse denominador de modo que temos a soma de 1 com algum fator trigonométrico.

Vamos dividir a equação por 4 no numerador e no denominador para conseguirmos conhecer os parâmetros dessa cônica.

r = 1 4 - 3 cos ⁡ θ  

r = 1 4 1 - 3 4 cos ⁡ θ

r = 1 4 . 3 3 1 - 3 4 cos ⁡ θ

Precisamos colocar o numerador na mesma estrutura no e do denominador. Então

r = 3 4 . 1 3 1 - 3 4 cos θ

Dessa forma a excentricidade valerá:

e = 3 4

Passo 2

Pelo sinal negativo do cosseno nos dá a equação igual a:

x = - d

r = 3 4 . 1 3 1 + 3 4 s e n   θ

Pelo denominador estar com uma função seno então sabemos que a diretriz é uma reta y e por ser positiva sabemos que ela é um valor de y positivo, logo a equação da reta diretriz vale:

r = 3 4 . 1 3 1 + 3 4 s e n   θ

y = - 1 3

Passo 3

Gráfico:

Curva em azul é a reta diretriz e a curva vermelha a cônica.

Passo 4

Para rotacionar em - π 3 nós precisaremos somar o ângulo dentro do cosseno de modo que teremos a seguinte equação:

r = 1 4 - 3 cos ⁡ θ - π 3  

Logo o gráfico ficará como:

Resposta

a )         e = 3 4 ,   x = - 1 3

b ) r = 1 4 - 3 cos ⁡ θ - π 3  

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