Enunciado

Encontre os vértices, os focos e as assíntotas da hipérbole e esboce seu gráfico.

23-

2 y 2 - 3 x 2 - 4 y + 12 x + 8 = 0

Passo 1

Essa equação hiperbólica tem o feeling de uma equação hiperbólica com centro fora da origem. E esse tipo de equação tem a seguinte equação característica:

x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1

Para uma hipérbole horizontal

Ou:

y 2 a 2 - x 2 b 2 = 1

Para uma hipérbole vertical.

Temos que deixar então a expressão dada com a cara de alguma dessas, para isso vamos organizar x com x e y com y .

2 y 2 - 4 y + - 3 x 2 + 12 x = - 8

Somente de fazer isso já conseguimos ver que é uma hipérbole vertical.

2 y 2 - 2 y - 3 x 2 - 4 x = - 8

Passo 2

Dessa forma a parcela y 2 - 4 y parece muito com:

y - 1 2 = y 2 - 2 y + 1

Logo basta somar 1 no fator dentro do parenteses para resolver esse problema.

Agora para x 2 - 4 x temos absolutamente a mesma coisa haha

x - 2 2 = x 2 - 4 x + 4

Então basta somar 4 dentro do parênteses, o que nos deixa com a seguinte equação:

2 y 2 - 2 y + 1 - 3 x 2 - 4 x + 4 = - 8 + 2 × 1 - 3 × 4

Por isso que não se pode já ir somando dos dois lados, a constante fora dos parênteses afetam bastante na função.

2 y - 1 2 - 3 x - 2 2 = - 18

Agora vamos dividir por - 18 os dois lados:

x - 2 2 6 - y - 1 2 9 = 1

O que nos diz que na verdade é uma hipérbole horizontal.

Vejam jojo’s bizarre adventure, por favor

Passo 3

Essa equação nos diz que o centro dessa hipérbole está em:

( 2,1 )

Dessa forma:

a = 6

E

b = 9 = 3

E

c = 9 + 6 = 15  

E as assíntotas dessa função serão:

y - y 0 = ± b a ( x - x 0 )

y - 1 = ± 3 6 ( x - 2 )

Os vértices (por ser uma hipérbole horizontal) serão iguais a:

( x 0 ± a , y 0 )

Logo:

( 2 ± 6 , 1 )

E o foco:

( x 0 ± c , y 0 )

Logo:

( 2 ± 15 , 1 )

Dessa forma o gráfico da função será:

Resposta

Assíntotas:

y - 1 = ± 3 6 ( x - 2 )

Vértices:

( 2 ± 6 , 1 )

Foco:

( 2 ± 15 , 1 )

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