Enunciado

Encontre os extremos relativos no intervalo 0 < x < 2 π e confirme se seus resultados estão de acordo com o gráfico gerado por um recurso computacional.

f x = cos 2 ⁡ x

Passo 1

Para achar os pontos relativos de f x vamos encontrar a primeira derivada:

f ' x = 2 cos ⁡ x - sen ⁡ x = - 2 cos ⁡ x sen ⁡ x

Fazendo f ' x = 0 vamos ver se possui algum ponto crítico, onde a derivada é zero, ou onde ela não existe:

- 2 cos ⁡ x sen ⁡ x = 0 → cos ⁡ x sen ⁡ x = 0

Temos como pontos críticos então:

x = π 2

x = π

x = 3 π 2

Passo 2

Agora vamos usar o teste da segunda derivada, vamos calcular f ' ' x :

f ' ' x = - 2 - sen ⁡ x sen ⁡ x - 2 cos ⁡ x cos ⁡ x = 2 sen 2 ⁡ x - 2 cos 2 ⁡ x

Vamos usar o Teste da Derivada Segunda:

Se f ' x 0 = 0 e f ' ' x 0 > 0 , então f tem um mínimo relativo em x 0 .

Se f ' x 0 = 0 e f ' ' x 0 < 0 , então f tem um máximo relativo em x 0 .

Se f ' x 0 = 0 e f ' ' x 0 = 0 , então o teste é inconclusivo, isto é, f pode ter um máximo ou mínimo relativo em x 0 ou nenhum dos dois.

Vamos então achar os valores das segundas derivadas nos pontos críticos, e analisar os sinais:

f ' ' π 2 = 2 sen 2 ⁡ π 2 - 2 cos 2 ⁡ π 2 = 2 ⋅ 1 2 - 2 ⋅ 0 2 = 2 > 0

f ' ' π = 2 sen 2 ⁡ π - 2 cos 2 ⁡ π = 2 ⋅ 0 2 - 2 ⋅ - 1 2 = - 2 < 0

f ' ' 3 π 2 = 2 sen 2 ⁡ 3 π 2 - 2 cos 2 ⁡ 3 π 2 = 2 ⋅ - 1 2 - 2 ⋅ 0 2 = 2 > 0

Pelo Teste da Derivada Segunda temos que x = π é um máximo relativo e x = π 2 e x = 3 π 2 são mínimos relativos.

Passo 3

Vamos agora conferir pelo gráfico:

Por ele conseguimos ver que temos que x = π como um máximo relativo e x = π 2 e x = 3 π 2 como mínimos relativos.

Resposta

x = π máximo relativo e x = π 2 e x = 3 π 2 são mínimos relativos

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