Encontre a fórmula para f^(-1)(x) e de o domínio da função f^(-1)

19 f(x) = -raiz(3 - 2x)

Passo 1

Toda vez que formos inverter uma função galera, vamos seguir três passos, ok? São eles:

y = f x

f y = x

f - 1 x = y

Por extenso, temos:

  • Passo 1: Escrever a função como y igual a uma função de x
  • Passo 2: Isolar x de forma que possamos escrever ele como uma função de y
  • Passo 3 : Trocar x , y de lugar e chamar a nova função de x encontrada da inversa f - 1 x

Bora lá?

Passo 2

Show então, nossa função vai ser:

y = - 3 - 2 x

Uma coisa importante sobre essa função é que, como ela é uma raiz par, o interior dela não pode ser menor que zero! Logo:

3 - 2 x ≥ 0

- 2 x ≥ - 3

x ≤ 3 2

Além disso, seu resultado nunca vai ser negativo! Então nossa função também terá:

3 - 2 x ≥ 0

y ≤ 0

Beleza, agora, quando a gente for inverter essa função, vamos primeiro elevar os dois lados ao quadrado:

y 2 = - 3 - 2 x 2

y 2 = 3 - 2 x

Pra depois subtrair 3 dos dois lados:

y 2 - 3 = 3 - 3 - 2 x

y 2 - 3 = - 2 x

Dividindo os dois lados por - 2 temos:

y 2 - 3 - 2 = - 2 x - 2

x = 3 - y 2 2

Como y ≤ 0 , juntando esse fato a equação acima, ao trocarmos x , y de lugar...

x = 3 - y 2 2 ,     y ≤ 0

y = 3 - x 2 2 ,     x ≤ 0

... a nossa inversa aparece, junto do seu domínio!

f - 1 x = 3 - x 2 2

D f - 1 = x ∈   ] - ∞ , 0 ]

Resposta

f - 1 x = 3 - x 2 2

D f - 1 = x ∈   ] - ∞ , 0 ]

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