Enunciado

Enfocando conceitos

Sejam:

f x = x 2 ,     x > 1

g x = x

  1. Mostre que f g x = x , x > 1 e g f x = x , x > 1
  2. Mostre que f e g não são inversas uma da outra provando que os gráficos dessas funções não são reflexões um do outro em relação à reta y = x .
  3. As partes a e b se contradizem? Explique.

Passo 1

Fala povo, tudo ok? Ó só, tamos falando de funções compostas aqui. Pra começar, queremos:

f x = x 2 ,     x > 1

g x = x

f g x =   ?

Pô, pra achar isso, basta trocar todos os x dentro de f x pela expressão inteira que define g x . Sendo assim:

f g x = x 2

f g x = x 2

E opa, essa ai é exatamente a definição de módulo de x ! Veja que se eu inserir x = ± 1 o resultado vai ser sempre f g x = 1 . Inserindo x = ± 3 , o resultado sempre será f g x = 3 . Dados esses exemplos e sabendo que o módulo pode ser entendido como:

f g x = x

f g x = x ,     x ≥ 0 - x ,     x < 0

Como o enunciado disse que x > 1 para f x , então realmente provamos que:

f g x = x ,     x > 1

Agora pra outra igualdade, vamos manter a ideia, ok? Só que trocar a ordem de quem entra em quem:

g f x = x 2

g f x = x 2

g f x = x

g f x = x ,     x ≥ 0 - x ,     x < 0

E de novo, para x > 1 , provamos que:

g f x = x ,     x > 1

Passo 2

Show, agora vamos falar de inversas. Pra isso temos que isolar x . Seja:

f = x 2 ,     x > 1

g = x

Para isolar x tomamos a raiz quadrada no primeiro caso nos dois lados, e elevamos ao quadrado dos dois lados no segundo caso:

± f = x

g 2 = x

Pro primeiro caso, como x > 1 , eliminamos o sinal de negativo. Além disso, da função original f = x 2 ,     x > 1 , podemos tirar que f > 1 . Ou seja, reescrevemos:

x = f ,     f > 1

x = g 2

E trocando x , g e x , f de lugar, achamos as inversas:

f - 1 x = x ,     x > 1

g - 1 x = x 2

Agora bora comparar com as funções originais:

f x = x 2 ,     x > 1

g x = x

Pô galera, apesar de termos chegado bem perto, g x não é exatamente a inversa de f x visto que f - 1 x implica, obrigatoriamente em x > 1 e g x não! A mesma lógica vale pra g x : a função f x não é sua inversa uma vez que g - 1 x não requer x > 1 porém, ao contrário de f x .

Pra fechar, vamos falar da letra c . Pô galera, não tem porque os resultados de a e b se contradizerem uma vez que os procedimentos feitos (inversão de função e funções compostas) são completamente diferentes. Apesar do resultado da função composta ser exatamente o eixo de simetria y = x das funções inversas, como existe a condição x > 1 , faz sentido o resultado da letra a ser verdade sem que f , g sejam inversas uma da outra.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Ache o valor exato da quantidade dada: cos - 1 ⁡ cos ⁡ π 4 cos - 1 ⁡ cos ⁡ - π 4 cos - 1 ⁡ cos ⁡ 3 π 4 cos - 1 ⁡ cos ⁡ 5 π 4
Ache o valor exato da quantidade dada: sen - 1 ⁡ sen ⁡ π 6 sen - 1 ⁡ sen ⁡ - π 6 sen - 1 ⁡ sen ⁡ 5 π 6 sen - 1 ⁡ sen ⁡ 11 π 6
Dado que t = csc - 1 ⁡ - 3 2 , ache o valor exato de cada uma das funções: (a) sen ⁡ t ; (b) cos ⁡ t ; (c) tan ⁡ t ; (d) cot ⁡ t ; (e) sec ⁡ t .
Dado que t = sec - 1 ⁡ - 3 , ache o valor exato de cada uma das funções: (a) sen ⁡ t ; (b) cos ⁡ t ; (c) tan ⁡ t ; (d) cot ⁡ t ; (e) csc ⁡ t .
Dado que y = cot - 1 ⁡ - 1 2 , ache o valor exato de cada uma das funções: (a) sen ⁡ y ; (b) cos ⁡ y ; (c) tan ⁡ y ; (d) sec ⁡ y ; (e) csc ⁡ y .