Enunciado

Um corpo em uma mola vibra horizontalmente sobre uma superfície lisa (veja a figura). Sua equação de movimento é x t = 8 sen ⁡ t , onde t está em segundos e x , em centímetros.

(a) Encontre a velocidade e a aceleração no instante t .

(b) Encontre a posição, velocidade e aceleração do corpo no instante t = 2 π / 3 . Em que sentido ele está se movendo nesse instante?

Passo 1

Falaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos dá a seguinte função que descreve a equação do movimento de um corpo em uma mola que vibra horizontalmente sobre uma superfície lisa:

x t = 8 sen ⁡ t

Onde t está em segundos e x , em centímetros.

Queremos encontrar a velocidade e a aceleração no instante t .

Para isso, temos que saber que a velocidade v é a taxa com que se varia a posição da partícula ( x ) em um dado momento, ou seja, a derivada da posição em relação ao tempo.

E, do mesmo modo, a aceleração a é a derivada da velocidade em relação ao tempo.

Depois, temos que substituir t = 2 π / 3 nas três equações e analisar o sentido ele está se movendo nesse instante.

As derivadas trigonométricas são tabeladas, você vai ter que lembrar delas, mas com a prática você aprende todas. Nessa atividade a gente vai utilizar:

sin ⁡ t ' = cos ⁡ t

cos ⁡ t ' = - sin ⁡ t

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Vamos primeiro encontrar a equação da velocidade.

Para isso, sabemos que:

v t = d d t x t

Portanto, substituindo x t , temos:

v t = d d t 8 sen ⁡ t

Como podemos retirar uma constante de dentro da derivada, temos:

v t = 8 d d t sin ⁡ t

Aplicando a derivada do seno temos:

v t = 8 cos ⁡ t

Passo 3

Agora, para a aceleração, temos que:

a t = d v d t

Assim, substituindo v t , temos:

a t = d d t 8 cos ⁡ t

Novamente retiramos a constante da derivada e aplicamos a derivada do cosseno:

a t = - 8 sen ⁡ t

Passo 4

No instante t = 2 π / 3 , a posição é:

x 2 π 3 = 8 sen ⁡ 2 π 3

x 2 π 3 = 4 3   c m

No instante t = 2 π / 3 , a velocidade é:

v 2 π 3 = 8 cos ⁡ 2 π 3

v 2 π 3 = - 4   c m / s

E a aceleração, por sua vez é dada por:

a 2 π 3 = - 8 sen ⁡ 2 π 3

a 2 π 3 = - 4 3   c m / s 2

Está se movendo para a esquerda porque a velocidade é negativa, o que neste caso representa a direção esquerda.

Resposta

(a) v t = 8 cos ⁡ t e a t = - 8 sen ⁡ t

(b) x 2 π 3 = 4 3   c m , v 2 π 3 = - 4   c m / s e a 2 π 3 = - 4 3   c m / s 2 . O corpo está se movendo no sentido negativo de x , ou seja, está “voltando”.

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