Enunciado

Encontre uma função g x da forma

g x = A x 2 + B x + C

Cujo gráfico contenha os pontos m - Δ x ,   f m - Δ x ,   m ,   f m e m + x ,   f m + Δ x , onde f x é a função dada, e para os valores dados de m e Δ x . Então, verifique a Fórmula 11 :

∫ m - Δ x m + Δ x g x d x = Δ x 3 Y 0 + 4 Y 1 + Y 2

Onde Y 0 = f m - Δ x , Y 1 = f m e Y 2 = f m + Δ x .

f x = 1 x ; m = 3 ,   Δ x = 1

Passo 1

E aíííí, galerinha! Prontos pra mais um exercício com o Responde Aí?

Bom, para esse exercício em questão, o que deve ser feito para encontrar a função g é escrever as funções com a mesma forma de g , cada uma em relação aos pontos citados. Isso vai nos dar três funções diferentes com três incógnitas A ,   B ,   C , ou seja, vai formar um sistema de equações que é possível de se resolver.

Depois, para verificar a Fórmula 11 , vamos determinar o valor de Y n a partir dos valores atribuídos a f x para cada x e, então, substituir esses valores na equação de interesse.

Passo 2

Então, vamos encontrar as funções g inicialmente. Para o primeiro ponto:

m - Δ x ,   f m - Δ x

Temos que:

x 0 = m - Δ x = 3 - 1

∴ x 0 = 2 → f x 0 = 1 2

Ou seja:

x 0 ,   f x 0 = m - Δ x ,   f m - Δ x = 2 ,   1 2

Assim, a primeira função g pode ser escrita como:

f x 0 = g x 0 = 4 A + 2 B + C = 1 2

Da mesma forma, para o segundo ponto:

x 1 ,   f x 1 = m ,   f m = 3 , 1 3

Tal que:

f x 1 = g x 1 = 9 A + 3 B + C = 1 3

Analogamente, para o terceiro ponto:

x 2 ,   f x 2 = m + Δ x ,   f m + Δ x = 4 , 1 4

Cuja função g é:

f x 2 = g x 2 = 16 A + 4 B + C = 1 4

Passo 3

Com essas três funções encontradas, podemos montar um sistema de equações dado por:

1 2 = 4 A + 2 B + C 1 3 = 9 A + 3 B + C 1 4 = 16 A + 4 B + C

Que nos dá a solução:

A = 1 24 B = - 3 8 C = 13 12 → g x = 1 24 x 2 - 3 8 x + 13 12

Passo 4

Agora, verificando a fórmula, vamos substituir as variáveis que temos conhecimento:

∫ m - Δ x m + Δ x g x d x = Δ x 3 Y 0 + 4 Y 1 + Y 2 →

→ ∫ 2 4 1 24 x 2 - 3 8 x + 13 12 d x = 1 3 1 2 + 4 1 3 + 1 4

Resolvendo a integral primeiro, teremos:

∫ 2 4 1 24 x 2 - 3 8 x + 13 12 d x = 1 24 x 3 3 - 3 8 x 2 2 + 13 12 x | 4 2

E, substituindo o intervalo de integração:

∫ 2 4 1 24 x 2 - 3 8 x + 13 12 d x = 1 72 4 3 - 2 3 - 3 16 4 2 - 2 2 + 13 12 4 - 2

Portanto:

∫ 2 4 1 24 x 2 - 3 8 x + 13 12 d x = 25 36

Passo 5

E, por fim, mas não menos importante, vamos calcular o lado direito da equação:

Δ x 3 Y 0 + 4 Y 1 + Y 2 = 1 3 1 2 + 4 1 3 + 1 4

Logo:

Δ x 3 Y 0 + 4 Y 1 + Y 2 = 25 36

Portanto, a igualdade da Fórmula 11 é correta.

Resposta

g x = 1 24 x 2 - 3 8 x + 13 12

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre o valor de: a )∑ k = 1 n f x k *Δ x k b ) max ⁡ Δ x k f x = x 3 ; a = - 3 ; b = 3 ; n = 4 Δ x 1 = 2 ; Δ x 2 = 1 ; Δ x 3 = 1 ; Δ x 4 = 2 x 1 * = - 2 ,x 2 * = 0 ; x 3 * = 0 ; x 4 * = 2
Preencha as lacunas: 1 + 3 + 5 + … + 2 n - 1 = ∑ k = 1 n _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Use a parte (a) para provar que a soma dos n primeiros inteiros ímpares consecutivos é um quadrado perfeito.
Expresse ∑ k = 4 18 k ( k - 3 ) Na notação com somatório, com k = 0 como limite inferior do somatório k = 5 como limite inferior do somatório
Em cada parte, encontre o limite interpretando-o como o limite de uma soma de Riemann, na qual o intervalo [ 0 ,1 ] está dividido em n subintervalos de mesmo comprimento. lim n → ∞ ⁡ 1 + 2 + 3 + … + n
Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.Se f ( x ) for côncava para baixo no intervalo ( a , b ) , então a aproximação trapezoidal T n subestima ∫ a b f ( x ) d x .