Enunciado

a) Se g x = 2 x + 1 e h x = 4 x 2 + 4 x + 7 , encontre uma função f tal que f ∘ g = h . (Pense em quais operações você teria que efetuar na fórmula de g para chegar à fórmula de h .)

b) Se f x = 3 x + 5 e h x = 3 x 2 + 3 x + 2 , encontre uma função g tal que f ∘ g = h .

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado nos deu duas funções g x = 2 x + 1 e h x = 4 x 2 + 4 x + 7 e pediu pra gente determinar uma função f de modo que f ∘ g = h . E no item (b), precisamos fazer a mesma coisa para as funções f x = 3 x + 5 e h x = 3 x 2 + 3 x + 2 , encontrando uma função g tal que f ∘ g = h .

Beleza, pra isso a gente tem que lembrar que a composição f ∘ g também pode ser escrita na forma:

f ∘ g = f g x

Então, g ( x ) é a nossa função mais interna e f é a nossa função mais externa. Sendo assim, o que nós vamos fazer é substituir g ( x ) dentro de f ( x ) para encontrar a nossa composição e igualar a h ( x ) , para encontrarmos as funções pedidas.

Vamos lá!

Passo 2

Começando pela letra (a):

A dica do enunciado é a gente olhar pra g e pensar o que a gente tem que fazer para chegar em h , então vamos fazer isso:

Temos, na letra (a):

g x = 2 x + 1

E:

h x = 4 x 2 + 4 x + 7

Vemos que em h ( x ) aparece um " 4 x 2 "   e em g   temos 2 x , então a gente pode tentar fazer:

2 x + 1 2 = 4 x 2 + 4 x + 1

Uhuuum, já chegou mais perto!! Mas ainda não ta igual!

O que a gente fez foi basicamente:

f g x = 2 x + 1 2 = 4 x 2 + 4 x + 1

Que é a mesma coisa que:

f g x = g x 2

Mas a gente quer que isso seja igual a h ( x ) , ainda não é, para ver o que falta precisamos igualar as duas:

4 x 2 + 4 x + 1 + k = 4 x 2 + 4 x + 7

Agora a gente pode achar k :

k = 7 - 1 = 6

Agora o que a gente passou a ter foi:

f g x = g x 2 + 6

E quem é f ( x ) ?! A gente só precisa substituir o g ( x ) por x :

f x = x 2 + 6

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Para a letra (b) a gente tem:

f x = 3 x + 5

E

h x = 3 x 2 + 3 x + 2

E a gente quer g tal que f ∘ g = h . Ou seja, diferente da letra (a) que a gente queria a função de “fora” que é f , agora a gente quer a de “dentro” que é a g ( x ) .

O que o enunciado pede é:

f g x = h ( x )

Substituindo f :

3 g x + 5 = 3 x 2 + 3 x + 2

Isolando g ( x ) :

g x = 3 x 2 + 3 x + 2 - 5 3

E simplificando, temos:

g x = x 2 + x - 1

É isso aí! entendeu tudo? Responde Aí! 😎

Resposta

  1. f x = x 2 + 6
  2. g x = x 2 + x - 1
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Encontre o domínio e esboce o gráfico da função f x = 2 x + 3 , s e x- 1 3 - x ,s e x ≥ - 1